Se existem planos paralelos ou coincidentes entre si;
Se os planos se intersectam em uma reta comum, em um ponto comum, ou se não têm interseção comum.
Não começamos a resolver ainda; só listamos o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Vamos identificar os vetores normais de cada plano (esses vetores nos dizem a orientação de cada plano):
Breve explicação (aula rápida): o vetor normal de um plano é o vetor que é perpendicular a todo vetor que vive no plano; para o plano dado por \;ax+by+cz+d=0\; o vetor normal é (a,b,c). Se dois vetores normais são múltiplos um do outro (isto é, \mathbf{n}_i = k\mathbf{n}_j para algum escalar k), então os planos correspondentes são paralelos (ou coincidentes, se as constantes também respeitarem a mesma proporcionalidade).
Passo 3
Testamos se algum par de normais é proporcional (verificando coordenada a coordenada):
Para \pi_{1} e \pi_{3}: procurar k com (2,2,-8)=k(2,1,-4).
Da primeira coordenada k=1, da segunda k=2. Como os k dão valores diferentes, não existe único k. Logo \mathbf{n}_{1} e \mathbf{n}_{3} não são proporcionais.
Para \pi_{1} e \pi_{2}: procurar k com (-3,-3,2)=k(2,1,-4).
Da primeira coordenada k=-3/2, da segunda k=-3 — inconsistência. Logo não são proporcionais.
Para \pi_{2} e \pi_{3}: procurar k com (2,2,-8)=k(-3,-3,2).
Da primeira coordenada k=-2/3, da terceira k=-4 — inconsistência. Logo não são proporcionais.
Conclusão desta etapa: nenhum par de planos tem vetores normais proporcionais, portanto nenhum par é paralelo nem coincidente. Cada par de planos intersecta-se numa reta (se não houver degeneração adicional).
Passo 4
Agora precisamos saber se as três retas de interseção de pares têm um ponto em comum (isto é, se as três planas se intersectam em um mesmo ponto), ou se há outro tipo de configuração. Para isso podemos estudar o sistema linear formado pelas três equações (coeficientes das incógnitas):
Teoria usada (mini-aula): se \det(A)\neq 0 então o sistema tem solução única — ou seja, as três planas se intersectam exatamente em um ponto comum. Se \det(A)=0 pode haver infinitas soluções (interseção comum em uma reta) ou nenhuma (configuração sem ponto comum), dependendo do vetor dos termos independentes.
Passo 5
Calculemos \det(A). Usando expansão pela primeira linha:
Como \det(A)=20\neq 0, o sistema tem solução única. Portanto as três planas se intersectam em um único ponto.]
Passo 6
Vamos achar explicitamente o ponto de interseção (útil para verificar concretamente). Resolvemos o sistema por eliminação (mostrando as operações de forma elementar):
Substituindo em (3’): y-4\cdot 0=-2\Rightarrow y=-2.
Finalmente em (1’): 2x+(-2)-4\cdot 0=-2\Rightarrow 2x-2=-2\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0.
Portanto o ponto de interseção é (x,y,z)=(0,-2,0).
Passo 7
Interpretação final e resumo didático:
Nenhum par de planos é paralelo (verificamos que os vetores normais não são proporcionais).
A matriz de coeficientes tem determinante diferente de zero (\det(A)=20), então as três equações são linearmente independentes e as três planas intersectam-se em um único ponto.
Calculamos esse ponto e obtivemos (0,-2,0). Relacione isso com a prova: para decidir posição relativa entre três planos, é útil primeiro verificar proporcionalidade dos normais (para detectar paralelismo/coincidência) e depois analisar o sistema linear (ou o determinante da matriz dos coeficientes) para saber se há interseção única.
Resposta
As três planas intersectam-se em um único ponto: (0,-2,0).