Determinar a posição relativa entre os planos: \pi_{1}: 2 x+2 y-4 z+4=0, \pi_{2}:-x-y+z-6=0 e \pi_{3}:-2 x-2 y-8 z+4=0
Passo 1
O enunciado dá três planos e pede a posição relativa entre eles (se são paralelos, coincidentes, se se intersectam em uma reta, em um ponto, etc.). Informações fornecidas:
\pi_{1}: 2x+2y-4z+4=0
\pi_{2}: -x-y+z-6=0
\pi_{3}: -2x-2y-8z+4=0
Perguntas implícitas a responder:
Cada par de planos é paralelo, coincidente ou concorrente (interseção não vazia)?
Se intersectam, qual é a interseção (reta ou ponto)?
Os três planos têm um ponto comum?
Passo 2
Primeiro conceito importante (aula rápida): o vetor normal de um plano \,ax+by+cz+d=0, é (a,b,c). Dois planos são paralelos (ou coincidentes) se e somente se seus vetores normais são proporcionais. Se os vetores normais não são proporcionais, os planos não são paralelos e se intersectam ao longo de uma reta (quando são dois planos).
Vou calcular os vetores normais dos três planos:
\;n_{1}=(2,2,-4) para \pi_{1}.
\;n_{2}=(-1,-1,1) para \pi_{2}.
\;n_{3}=(-2,-2,-8) para \pi_{3}.
Passo 3
Verifico proporcionalidade par a par (para detectar planos paralelos/coincidentes).
Comparando n_{1} e n_{2}: razões coordenada a coordenada \frac{2}{-1}=-2,\;\frac{2}{-1}=-2,\;\frac{-4}{1}=-4. Como -2\neq-4, n_{1} não é múltiplo escalar de n_{2}. Logo \pi_{1} e \pi_{2} não são paralelos nem coincidentes; portanto intersectam-se numa reta.
Comparando n_{1} e n_{3}: razões \frac{2}{-2}=-1,\;\frac{2}{-2}=-1,\;\frac{-4}{-8}=\tfrac{1}{2}. Como -1\neq\tfrac{1}{2}, não são proporcionais. Logo \pi_{1} e \pi_{3} também não são paralelos nem coincidentes; intersectam-se numa reta.
Comparando n_{2} e n_{3}: razões \frac{-1}{-2}=\tfrac{1}{2},\;\frac{-1}{-2}=\tfrac{1}{2},\;\frac{1}{-8}=-\tfrac{1}{8}. Como \tfrac{1}{2}\neq -\tfrac{1}{8}, também não são proporcionais. Logo \pi_{2} e \pi_{3} não são paralelos nem coincidentes; intersectam-se numa reta.
Resumo parcial: nenhum par de planos é paralelo ou coincidente; cada par se intersecta numa reta.
Passo 4
Agora analiso se existe um ponto comum aos três planos ou se as três retas de interseção são, por exemplo, paralelas entre si. Para entender isso uso dois fatos:
A reta de interseção de \pi_{1} e \pi_{2} tem direção dada por d = n_{1}\times n_{2} (produto vetorial).
Se n_{3} estiver no espaço gerado por n_{1} e n_{2} (ou seja, for combinação linear deles), então d será perpendicular a n_{3} também, o que implica que a direção d está contida no plano \pi_{3}; assim a reta \pi_{1}\cap\pi_{2} será paralela a \pi_{3} (ou estará contida nele).
d = \big(2\cdot1-(-4)\cdot(-1),\; -\big(2\cdot1-(-4)\cdot(-1)\big),\;2\cdot(-1)-2\cdot(-1)\big)
d = (-2,\;2,\;0).
Podemos simplificar a direção para d=(1,-1,0) (multiplicando por -1 e escalando).
Verifico se n_{3} está no espaço gerado por n_{1} e n_{2}. De fato podemos encontrar escalares \alpha,\beta tais que n_{3}=\alpha n_{1}+\beta n_{2}. Resolvendo (mostro só as contas objetivas):
\alpha=5,\qquad \beta=12,
pois 5(2,2,-4)+12(-1,-1,1)=(-2,-2,-8)=n_{3}.
Portanto n_{3} é combinação linear de n_{1} e n_{2}. Consequência: d é ortogonal a n_{3}, logo a reta \pi_{1}\cap\pi_{2} tem direção contida em \pi_{3} — isto significa que \pi_{1}\cap\pi_{2} é paralela ao plano \pi_{3}. Ou seja, a reta de interseção de \pi_{1} e \pi_{2} ou está contida em \pi_{3} ou é paralela a \pi_{3}.]
Passo 5
Vou encontrar explicitamente a reta \pi_{1}\cap\pi_{2}\). Resolvendo o sistema
\[\begin{cases} 2x+2y-4z+4=0,\\[4pt] -x-y+z-6=0. \end{cases}
Da segunda equação temos \;z=x+y+6.\] Substituo na primeira:
\[2x+2y-4(x+y+6)+4=0.\]
Desenvolvendo:
\[2x+2y-4x-4y-24+4=0 \quad\Rightarrow\quad -2x-2y-20=0.\]
Dividindo por \(-2:
x+y+10=0 \quad\Rightarrow\quad y=-x-10.
Voltando em z:
z = x + (-x-10) + 6 = -4.
Logo a reta \pi_{1}\cap\pi_{2} em forma paramétrica (fazendo x=t) é
Como o ponto não satisfaz \pi_{3}, a reta \pi_{1}\cap\pi_{2} não está contida em \pi_{3}. Como já sabemos que sua direção pertence a \pi_{3}, concluímos que a reta é paralela a \pi_{3} e distinta dela (ou seja, não há interseção entre essa reta e \pi_{3}).
Isso implica também que os três planos não têm ponto em comum (se houvesse um ponto comum ele estaria na reta \pi_{1}\cap\pi_{2} e também em \pi_{3}, mas já vimos que a reta não corta \pi_{3}).
Passo 7
Para ser completo, encontro as retas de interseção restantes e confirmo que todas têm a mesma direção [(1,-1,0)), ou seja, são três retas paralelas.
Portanto as três retas de interseção são paralelas entre si (têm a mesma direção) e são distintas (têm alturas z distintas: -4,\tfrac{2}{3},\tfrac{8}{5}).]