Determinar a posição relativa entre os planos:
\pi_{1}: 2 x+2 y-4 z+4=0, \pi_{2}:-x-y+z-6=0 e \pi_{3}:-2 x-2 y-8 z+4=0

Passo 1

O enunciado dá três planos e pede a posição relativa entre eles (se são paralelos, coincidentes, se se intersectam em uma reta, em um ponto, etc.). Informações fornecidas:
\pi_{1}: 2x+2y-4z+4=0
\pi_{2}: -x-y+z-6=0
\pi_{3}: -2x-2y-8z+4=0
Perguntas implícitas a responder:
  • Cada par de planos é paralelo, coincidente ou concorrente (interseção não vazia)?
  • Se intersectam, qual é a interseção (reta ou ponto)?
  • Os três planos têm um ponto comum?

Passo 2

Primeiro conceito importante (aula rápida): o vetor normal de um plano \,ax+by+cz+d=0, é (a,b,c). Dois planos são paralelos (ou coincidentes) se e somente se seus vetores normais são proporcionais. Se os vetores normais não são proporcionais, os planos não são paralelos e se intersectam ao longo de uma reta (quando são dois planos).
Vou calcular os vetores normais dos três planos:
\;n_{1}=(2,2,-4) para \pi_{1}.
\;n_{2}=(-1,-1,1) para \pi_{2}.
\;n_{3}=(-2,-2,-8) para \pi_{3}.

Passo 3

Verifico proporcionalidade par a par (para detectar planos paralelos/coincidentes).
Comparando n_{1} e n_{2}: razões coordenada a coordenada \frac{2}{-1}=-2,\;\frac{2}{-1}=-2,\;\frac{-4}{1}=-4. Como -2\neq-4, n_{1} não é múltiplo escalar de n_{2}. Logo \pi_{1} e \pi_{2} não são paralelos nem coincidentes; portanto intersectam-se numa reta.
Comparando n_{1} e n_{3}: razões \frac{2}{-2}=-1,\;\frac{2}{-2}=-1,\;\frac{-4}{-8}=\tfrac{1}{2}. Como -1\neq\tfrac{1}{2}, não são proporcionais. Logo \pi_{1} e \pi_{3} também não são paralelos nem coincidentes; intersectam-se numa reta.
Comparando n_{2} e n_{3}: razões \frac{-1}{-2}=\tfrac{1}{2},\;\frac{-1}{-2}=\tfrac{1}{2},\;\frac{1}{-8}=-\tfrac{1}{8}. Como \tfrac{1}{2}\neq -\tfrac{1}{8}, também não são proporcionais. Logo \pi_{2} e \pi_{3} não são paralelos nem coincidentes; intersectam-se numa reta.
Resumo parcial: nenhum par de planos é paralelo ou coincidente; cada par se intersecta numa reta.

Passo 4

Agora analiso se existe um ponto comum aos três planos ou se as três retas de interseção são, por exemplo, paralelas entre si. Para entender isso uso dois fatos:
  • A reta de interseção de \pi_{1} e \pi_{2} tem direção dada por d = n_{1}\times n_{2} (produto vetorial).
  • Se n_{3} estiver no espaço gerado por n_{1} e n_{2} (ou seja, for combinação linear deles), então d será perpendicular a n_{3} também, o que implica que a direção d está contida no plano \pi_{3}; assim a reta \pi_{1}\cap\pi_{2} será paralela a \pi_{3} (ou estará contida nele).
Calculo o produto vetorial d=n_{1}\times n_{2}:
d=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 2 & 2 & -4\\[4pt] -1 & -1 & 1 \end{vmatrix}
Cálculo componente a componente:
d = \big(2\cdot1-(-4)\cdot(-1),\; -\big(2\cdot1-(-4)\cdot(-1)\big),\;2\cdot(-1)-2\cdot(-1)\big)
d = (-2,\;2,\;0).
Podemos simplificar a direção para d=(1,-1,0) (multiplicando por -1 e escalando).
Verifico se n_{3} está no espaço gerado por n_{1} e n_{2}. De fato podemos encontrar escalares \alpha,\beta tais que n_{3}=\alpha n_{1}+\beta n_{2}. Resolvendo (mostro só as contas objetivas):
\alpha=5,\qquad \beta=12,
pois 5(2,2,-4)+12(-1,-1,1)=(-2,-2,-8)=n_{3}.
Portanto n_{3} é combinação linear de n_{1} e n_{2}. Consequência: d é ortogonal a n_{3}, logo a reta \pi_{1}\cap\pi_{2} tem direção contida em \pi_{3} — isto significa que \pi_{1}\cap\pi_{2} é paralela ao plano \pi_{3}. Ou seja, a reta de interseção de \pi_{1} e \pi_{2} ou está contida em \pi_{3} ou é paralela a \pi_{3}.]

Passo 5

Vou encontrar explicitamente a reta \pi_{1}\cap\pi_{2}\). Resolvendo o sistema \[\begin{cases} 2x+2y-4z+4=0,\\[4pt] -x-y+z-6=0. \end{cases}
Da segunda equação temos \;z=x+y+6.\] Substituo na primeira: \[2x+2y-4(x+y+6)+4=0.\] Desenvolvendo: \[2x+2y-4x-4y-24+4=0 \quad\Rightarrow\quad -2x-2y-20=0.\] Dividindo por \(-2:
x+y+10=0 \quad\Rightarrow\quad y=-x-10.
Voltando em z:
z = x + (-x-10) + 6 = -4.
Logo a reta \pi_{1}\cap\pi_{2} em forma paramétrica (fazendo x=t) é
\pi_{1}\cap\pi_{2}: \quad (x,y,z)=(t,\,-t-10,\,-4),\qquad t\in\mathbb{R}.]

Passo 6

Verifico se essa reta está contida em \pi_{3} testando um ponto da reta. Escolho t=0 e o ponto P_{0}=(0,-10,-4). Substituo em \pi_{3}:
-2\cdot 0 -2\cdot(-10) -8\cdot(-4) +4 = 0 +20 +32 +4 =56\neq 0.
Como o ponto não satisfaz \pi_{3}, a reta \pi_{1}\cap\pi_{2} não está contida em \pi_{3}. Como já sabemos que sua direção pertence a \pi_{3}, concluímos que a reta é paralela a \pi_{3} e distinta dela (ou seja, não há interseção entre essa reta e \pi_{3}).
Isso implica também que os três planos não têm ponto em comum (se houvesse um ponto comum ele estaria na reta \pi_{1}\cap\pi_{2} e também em \pi_{3}, mas já vimos que a reta não corta \pi_{3}).

Passo 7

Para ser completo, encontro as retas de interseção restantes e confirmo que todas têm a mesma direção [(1,-1,0)), ou seja, são três retas paralelas.
Interseção \pi_{1}\cap\pi_{3}: resolver
\begin{cases} 2x+2y-4z+4=0,\\[4pt] -2x-2y-8z+4=0. \end{cases}
Somando as duas equações:
-12z+8=0 \quad\Rightarrow\quad z=\frac{2}{3}.
Substituindo em \pi_{1}\]: \[2x+2y-4\cdot\frac{2}{3}+4=0 \;\Rightarrow\; x+y+\frac{2}{3}=0 \;\Rightarrow\; y=-x-\frac{2}{3}.\] Portanto, com \[x=t,
\pi_{1}\cap\pi_{3}: \quad (x,y,z)=(t,\,-t-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}),\qquad t\in\mathbb{R},
direção (1,-1,0).
Interseção \pi_{2}\cap\pi_{3}: resolver
\begin{cases} -x-y+z-6=0,\\[4pt] -2x-2y-8z+4=0. \end{cases}
Da primeira: (z=x+y+6]. Substituindo na segunda:
-2x-2y-8(x+y+6)+4=0 \;\Rightarrow\; -10x-10y-44=0
\Rightarrow\; x+y+\frac{22}{5}=0 \;\Rightarrow\; y=-x-\frac{22}{5}.
Então z=x+y+6 = -\tfrac{22}{5}+6=\tfrac{8}{5}. Com x=t,
\pi_{2}\cap\pi_{3}: \quad (x,y,z)=(t,\,-t-\tfrac{22}{5},\tfrac{8}{5}),\qquad t\in\mathbb{R},
novamente direção (1,-1,0).
Portanto as três retas de interseção são paralelas entre si (têm a mesma direção) e são distintas (têm alturas z distintas: -4,\tfrac{2}{3},\tfrac{8}{5}).]

Resposta

\pi_{1}\cap\pi_{2}=\{(t,\,-t-10,\,-4)\mid t\in\mathbb{R}\}
\pi_{1}\cap\pi_{3}=\{(t,\,-t-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3})\mid t\in\mathbb{R}\}
\pi_{2}\cap\pi_{3}=\{(t,\,-t-\tfrac{22}{5},\tfrac{8}{5})\mid t\in\mathbb{R}\}
As três retas de interseção são paralelas; não existe ponto comum aos três planos; nenhum par de planos é paralelo nem coincidente.

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