Determinar a posição relativa entre os planos:
\pi_{1}: x+y-4 z+2=0, \pi_{2}:-3 x-3 y+12 z+4=0 e \pi_{3}: x+y-4 z+1=0

Passo 1

O enunciado dá três planos e pede a posição relativa entre eles. Os planos são:
\pi_{1}: x+y-4z+2=0,
\pi_{2}: -3x-3y+12z+4=0,
\pi_{3}: x+y-4z+1=0.
Informações relevantes que temos (apenas listando o que está no enunciado):
  • As equações de \pi_{1}, \pi_{2} e \pi_{3} (veja acima).
  • A pergunta implícita: determinar se os planos são paralelos, coincidentes ou se se intersectam (em linhas ou pontos).

Passo 2

Conceito útil (explicado passo a passo, sem pressa):
  • Um plano geral em \mathbb{R}^3 tem equação \;ax+by+cz+d=0\;. O vetor \;n=(a,b,c)\; é chamado de vetor normal do plano: ele é perpendicular a qualquer direção do plano.
  • Se dois planos têm vetores normais proporcionais (isto é, um é múltiplo escalar do outro), então os planos são paralelos ou coincidentes (porque têm a mesma direção normal).
  • Para decidir entre “paralelos distintos” e “coincidentes”, precisamos ver se a equação inteira é proporcional: existem k\neq0 tal que (a_2,b_2,c_2,d_2)=k\,(a_1,b_1,c_1,d_1).Se existir tal k, os planos coincidem. Se os vetores normais são proporcionais mas não existe esse k para todos os coeficientes (incluindo d), então os planos são paralelos e distintos.
  • Se os vetores normais não são proporcionais, os planos não são paralelos e, em pares, intersectam-se numa reta.
Vou usar exatamente esse procedimento: primeiro calcular os vetores normais, ver proporções; depois verificar os termos constantes para checar coincidência.

Passo 3

Calcular os vetores normais dos três planos (é só pegar os coeficientes de x,y,z):
n_1=(1,\,1,\,-4),
n_2=(-3,\,-3,\,12),
n_3=(1,\,1,\,-4).
Observação: já dá para ver que n_3=n_1. Vamos verificar relação entre n_2 e n_1:
n_2 = -3\,(1,1,-4) = -3\,n_1.
Portanto n_2 é múltiplo escalar de n_1. Conclusão intermediária: os três vetores normais são proporcionais entre si, logo os três planos são paralelos ou coincidentes (não podem intersectar formando uma reta, porque seriam não paralelos nesse caso).

Passo 4

Explicar como testar coincidência (e aplicar):
  • Se \pi_2 fosse coincidente com \pi_1, haveria k tal que multiplicando toda a equação de \pi_1 por k obtemos a equação de \pi_2. Como vimos que n_2=-3 n_1, o candidato é k=-3. Multiplicando \pi_1 por -3 obtemos:
-3(x+y-4z+2)= -3x-3y+12z-6=0.
Comparando com a equação de \pi_2, que é
-3x-3y+12z+4=0,
vemos que o termo constante difere: -6 versus +4. Logo não existe k que iguale toda a quádrupla de coeficientes de \pi_1 com a de \pi_2. Portanto \pi_1 e \pi_2 não coincidem; são paralelos distintos.

Passo 5

Testar coincidência entre \pi_1 e \pi_3 (já que n_3=n_1, o candidato é k=1):
  • Multiplicando \pi_1 por 1 obtemos a própria \pi_1:
x+y-4z+2=0.
A equação de \pi_3 é
x+y-4z+1=0.
Os coeficientes de x,y,z coincidem, mas o termo constante 2 em \pi_1 difere de 1 em \pi_3. Logo \pi_1 e \pi_3 são paralelos distintos (não coincidem).
Também poderia verificar \pi_2 vs \pi_3: como n_2=-3 n_3, multiplicando \pi_2 por -\tfrac{1}{3} obtemos
-\tfrac{1}{3}(-3x-3y+12z+4)=x+y-4z-\tfrac{4}{3}.
Comparando com \pi_3 (que tem constante +1), novamente as constantes não batem ( -\tfrac{4}{3}\neq 1). Portanto \pi_2 e \pi_3 também são paralelos distintos.

Passo 6

Conclusão final (síntese didática e direta):
  • Os vetores normais mostram que todos os planos têm a mesma direção normal (são todos proporcionais): n_1=n_3 e n_2=-3n_1. Portanto os três planos são paralelos entre si.
  • As verificações das constantes mostram que nenhuma das equações é múltipla escalar exata das outras (os termos constantes não se ajustam ao mesmo fator), então nenhum par é coincidente.
  • Logo, as três são planos paralelos distintos.

Resposta

\pi_1 \parallel \pi_2 \parallel \pi_3 (são três planos paralelos e distintos).

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