Determinar a posição relativa entre os planos:
e
Passo 1
O enunciado dá três planos e pede a posição relativa entre eles. Os planos são:
Informações relevantes que temos (apenas listando o que está no enunciado):
- As equações de
, e (veja acima). - A pergunta implícita: determinar se os planos são paralelos, coincidentes ou se se intersectam (em linhas ou pontos).
Passo 2
Conceito útil (explicado passo a passo, sem pressa):
- Um plano geral em
tem equação . O vetor é chamado de vetor normal do plano: ele é perpendicular a qualquer direção do plano. - Se dois planos têm vetores normais proporcionais (isto é, um é múltiplo escalar do outro), então os planos são paralelos ou coincidentes (porque têm a mesma direção normal).
- Para decidir entre “paralelos distintos” e “coincidentes”, precisamos ver se a equação inteira é proporcional: existem
tal que Se existir tal , os planos coincidem. Se os vetores normais são proporcionais mas não existe esse para todos os coeficientes (incluindo ), então os planos são paralelos e distintos. - Se os vetores normais não são proporcionais, os planos não são paralelos e, em pares, intersectam-se numa reta.
Vou usar exatamente esse procedimento: primeiro calcular os vetores normais, ver proporções; depois verificar os termos constantes para checar coincidência.
Passo 3
Calcular os vetores normais dos três planos (é só pegar os coeficientes de
):
Observação: já dá para ver que
. Vamos verificar relação entre
e
:
Portanto
é múltiplo escalar de
. Conclusão intermediária: os três vetores normais são proporcionais entre si, logo os três planos são paralelos ou coincidentes (não podem intersectar formando uma reta, porque seriam não paralelos nesse caso).
Passo 4
Explicar como testar coincidência (e aplicar):
- Se
fosse coincidente com , haveria tal que multiplicando toda a equação de por obtemos a equação de . Como vimos que , o candidato é . Multiplicando por obtemos:
Comparando com a equação de
, que é
vemos que o termo constante difere:
versus
. Logo não existe
que iguale toda a quádrupla de coeficientes de
com a de
. Portanto
e
não coincidem; são paralelos distintos.
Passo 5
Testar coincidência entre
e
(já que
, o candidato é
):
- Multiplicando
por obtemos a própria :
A equação de
é
Os coeficientes de
coincidem, mas o termo constante
em
difere de
em
. Logo
e
são paralelos distintos (não coincidem).
Também poderia verificar
vs
: como
, multiplicando
por
obtemos
Comparando com
(que tem constante
), novamente as constantes não batem (
). Portanto
e
também são paralelos distintos.
Passo 6
Conclusão final (síntese didática e direta):
- Os vetores normais mostram que todos os planos têm a mesma direção normal (são todos proporcionais):
e . Portanto os três planos são paralelos entre si. - As verificações das constantes mostram que nenhuma das equações é múltipla escalar exata das outras (os termos constantes não se ajustam ao mesmo fator), então nenhum par é coincidente.
- Logo, as três são planos paralelos distintos.