Determinar a posição relativa entre os planos:
\pi_{1}: x+y-4 z+2=0, \pi_{2}:-3 x-3 y+12 z-6=0 e \pi_{3}: 2 x+2 y-8 z+4=0

Passo 1

O enunciado dá três planos e pede a posição relativa entre eles. As informações fornecidas são as equações dos planos:
\pi_{1}: x+y-4z+2=0,
\pi_{2}:-3x-3y+12z-6=0,
\pi_{3}: 2x+2y-8z+4=0.
A pergunta é: cada par de planos é paralelo, concorrente (intersectam numa reta), ou coincidente (são exatamente o mesmo plano)? Quero determinar isso para os três planos.

Passo 2

Primeiro, vou ensinar um conceito-chave: cada plano em \mathbb{R}^3 da forma ax+by+cz+d=0 tem um vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c). Esse vetor é perpendicular a todo vetor que esteja contido no plano. Duas propriedades úteis:
  1. Se os vetores normais de dois planos são proporcionais (isto é, um é múltiplo escalar do outro), então os planos são paralelos (podem ser coincidentes ou distintos).
  2. Se além dos coeficientes a,b,c serem proporcionais com fator k, também o termo constante d for proporcional com o mesmo k, então as duas equações representam exatamente o mesmo plano (são coincidentes).
Vou extrair os vetores normais das três equações.

Passo 3

Calcular os vetores normais:
\mathbf{n}_1=(1,1,-4)\quad\text{(de \(\pi_1\))},
\mathbf{n}_2=(-3,-3,12)\quad\text{(de \(\pi_2\))},
\mathbf{n}_3=(2,2,-8)\quad\text{(de \(\pi_3\))}.
Agora verifico se há proporções entre esses vetores.

Passo 4

Comparando \mathbf{n}_2 com \mathbf{n}_1:
-3\cdot\mathbf{n}_1 = -3\cdot(1,1,-4)=(-3,-3,12)=\mathbf{n}_2.
Logo, \mathbf{n}_2 é -3 vezes \mathbf{n}_1; os vetores normais são proporcionais, então \pi_1 e \pi_2 são planos paralelos (ou coincidentes).
Comparando \mathbf{n}_3 com \mathbf{n}_1:
2\cdot\mathbf{n}_1 = 2\cdot(1,1,-4)=(2,2,-8)=\mathbf{n}_3.
Logo, \mathbf{n}_3 é 2 vezes \mathbf{n}_1; \pi_1 e \pi_3 também têm normais proporcionais, então são paralelos (ou coincidentes).

Passo 5

Agora aplico o critério mais forte para decidir se são coincidentes: verificar se toda a equação é múltipla com o mesmo escalar, inclusive o termo constante.
Multiplicando a equação de \pi_1 por -3:
-3\cdot(x+y-4z+2)=-3x-3y+12z-6,
que é exatamente a equação de \pi_2. Portanto \pi_2 coincide com \pi_1: \pi_2=\pi_1.
Multiplicando a equação de \pi_1 por 2:
2\cdot(x+y-4z+2)=2x+2y-8z+4,
que é exatamente a equação de \pi_3. Portanto \pi_3 coincide com \pi_1: \pi_3=\pi_1.

Passo 6

Interpretação: como \pi_2 e \pi_3 são múltiplos escalares da equação de \pi_1 com os mesmos fatores que relacionam também os termos constantes, todas as três equações representam o mesmo conjunto de pontos em \mathbb{R}^3. Em outras palavras, as três não são apenas paralelas: elas são exatamente o mesmo plano.
Observação didática rápida: se tivéssemos um caso em que os coeficientes a,b,c de dois planos fossem proporcionais mas o termo d não fosse proporcional com o mesmo fator, então os planos seriam paralelos e distintos (não coincidentes). Por exemplo, \;x+y+z+1=0\; e \;2x+2y+2z+3=0\; têm normais proporcionais ( (1,1,1) e (2,2,2)) mas não são o mesmo plano porque 2\cdot 1\neq 3.

Resposta

\pi_1=\pi_2=\pi_3

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