Determinar a posição relativa entre os planos:
e
Passo 1
O enunciado dá três planos e pede a posição relativa entre eles. As informações fornecidas são as equações dos planos:
A pergunta é: cada par de planos é paralelo, concorrente (intersectam numa reta), ou coincidente (são exatamente o mesmo plano)? Quero determinar isso para os três planos.
Passo 2
Primeiro, vou ensinar um conceito-chave: cada plano em
da forma
tem um vetor normal
. Esse vetor é perpendicular a todo vetor que esteja contido no plano. Duas propriedades úteis:
- Se os vetores normais de dois planos são proporcionais (isto é, um é múltiplo escalar do outro), então os planos são paralelos (podem ser coincidentes ou distintos).
- Se além dos coeficientes
serem proporcionais com fator , também o termo constante for proporcional com o mesmo , então as duas equações representam exatamente o mesmo plano (são coincidentes).
Vou extrair os vetores normais das três equações.
Passo 3
Calcular os vetores normais:
Agora verifico se há proporções entre esses vetores.
Passo 4
Comparando
com
:
Logo,
é
vezes
; os vetores normais são proporcionais, então
e
são planos paralelos (ou coincidentes).
Comparando
com
:
Logo,
é
vezes
;
e
também têm normais proporcionais, então são paralelos (ou coincidentes).
Passo 5
Agora aplico o critério mais forte para decidir se são coincidentes: verificar se toda a equação é múltipla com o mesmo escalar, inclusive o termo constante.
Multiplicando a equação de
por
:
que é exatamente a equação de
. Portanto
coincide com
:
.
Multiplicando a equação de
por
:
que é exatamente a equação de
. Portanto
coincide com
:
.
Passo 6
Interpretação: como
e
são múltiplos escalares da equação de
com os mesmos fatores que relacionam também os termos constantes, todas as três equações representam o mesmo conjunto de pontos em
. Em outras palavras, as três não são apenas paralelas: elas são exatamente o mesmo plano.
Observação didática rápida: se tivéssemos um caso em que os coeficientes
de dois planos fossem proporcionais mas o termo
não fosse proporcional com o mesmo fator, então os planos seriam paralelos e distintos (não coincidentes). Por exemplo,
e
têm normais proporcionais (
e
) mas não são o mesmo plano porque
.