Determinar a posição relativa entre os planos:
\pi_{1}: x+y-4 z+2=0, \pi_{2}:-3 x-3 y+12 z+6=0 e \pi_{3}: 2 x+2 y-8 z+4=0

Passo 1

O enunciado dá três planos e pede a posição relativa entre eles. As informações fornecidas são exatamente as equações dos planos:
\pi_{1}: x+y-4 z+2=0,
\pi_{2}:-3 x-3 y+12 z+6=0,
\pi_{3}: 2 x+2 y-8 z+4=0.
As perguntas implícitas são: quais planos são paralelos, quais coincidem e quais são distintos (ou seja, se algum par se intersecta, coincide ou é paralelo e distinto).

Passo 2

Para comparar planos é muito útil olhar seus vetores normais. Vou explicar isso rapidinho e sem mistério: um plano na forma geral
a x + b y + c z + d = 0
tem vetor normal igual a (a,b,c). O vetor normal indica a direção perpendicular ao plano. Se dois vetores normais são múltiplos um do outro, os planos são paralelos (podem coincidir ou ser distintos). Se, além disso, o termo independente d também é proporcional com o mesmo fator, então os planos coincidem (são exatamente o mesmo plano). Se os normais não são proporcionais, os planos não são paralelos e, em geral, intersectam em uma reta.

Passo 3

Vamos extrair os vetores normais de cada plano (estou só lendo isso das equações acima):
n_{1}=(1,1,-4)\quad\text{(vetor normal de \(\pi_1\))},
n_{2}=(-3,-3,12)\quad\text{(vetor normal de \(\pi_2\))},
n_{3}=(2,2,-8)\quad\text{(vetor normal de \(\pi_3\))}.

Passo 4

Agora verificamos se esses vetores são proporcionais. Compare n_2 com n_1: se existir k tal que n_2=k\,n_1.
Calculo componente a componente:
\frac{-3}{1}=-3,\qquad \frac{-3}{1}=-3,\qquad \frac{12}{-4}=-3.
Todas as razões são iguais a -3. Logo n_2=-3\,n_1. Isso mostra que \pi_2 é paralela a \pi_1 (podem coincidir ou ser distintas; ainda não sabemos).
Compare n_3 com n_1:
\frac{2}{1}=2,\qquad \frac{2}{1}=2,\qquad \frac{-8}{-4}=2.
Todas as razões são 2. Logo n_3=2\,n_1. Assim \pi_3 também é paralela a \pi_1. Observação: como n_2 e n_3 também são proporcionais entre si (por uma constante -3/2), todos os três planos têm a mesma direção normal — isto significa que todos os três são paralelos entre si (em termos de orientação).

Passo 5

Agora precisamos distinguir entre planos paralelos coincidentes ou paralelos distintos. A regra prática: se n_j = k\, n_i e também d_j = k\, d_i (onde d é o termo independente da forma ax+by+cz+d=0), então os planos coincidem; se os d não satisfazem essa proporção, são paralelos distintos.
Pegamos os termos independentes (eles vêm das equações dadas):
d_1=2,\qquad d_2=6,\qquad d_3=4.

Passo 6

Verificamos \pi_1 e \pi_3: já vimos que n_3=2\,n_1. Agora testamos a constante:
2\cdot d_1 = 2\cdot 2 = 4 = d_3.
Como o mesmo fator 2 que relaciona os normais relaciona também os termos independentes, concluímos que \pi_3 coincide com \pi_1. Em outras palavras, \pi_1 e \pi_3 são o mesmo plano escrito com equações proporcionais.

Passo 7

Verificamos \pi_1 e \pi_2: vimos que n_2=-3\,n_1. Testamos o termo independente com esse fator:
-3\cdot d_1 = -3\cdot 2 = -6 \neq d_2(=6).
Como o termo independente não satisfaz a mesma proporção, \pi_2 não coincide com \pi_1; é apenas paralela a ela. Como \pi_3 coincide com \pi_1, segue que \pi_2 também é paralela a \pi_3 e distinta.
Geometricamente: todos têm a mesma direção normal, logo são planos paralelos; \pi_1 e \pi_3 são o mesmo plano, e \pi_2 é um plano paralelo separado (não se intersectam).

Resposta

\pi_{1} coincide com \pi_{3}.
\pi_{2} é paralela a \pi_{1} e \pi_{3}, mas distinta (não coincide).

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