Determinar a posição relativa entre os planos:
e
Passo 1
O enunciado dá três planos e pede a posição relativa entre eles. As informações fornecidas são exatamente as equações dos planos:
As perguntas implícitas são: quais planos são paralelos, quais coincidem e quais são distintos (ou seja, se algum par se intersecta, coincide ou é paralelo e distinto).
Passo 2
Para comparar planos é muito útil olhar seus vetores normais. Vou explicar isso rapidinho e sem mistério: um plano na forma geral
tem vetor normal igual a
. O vetor normal indica a direção perpendicular ao plano. Se dois vetores normais são múltiplos um do outro, os planos são paralelos (podem coincidir ou ser distintos). Se, além disso, o termo independente
também é proporcional com o mesmo fator, então os planos coincidem (são exatamente o mesmo plano). Se os normais não são proporcionais, os planos não são paralelos e, em geral, intersectam em uma reta.
Passo 3
Vamos extrair os vetores normais de cada plano (estou só lendo isso das equações acima):
Passo 4
Agora verificamos se esses vetores são proporcionais. Compare
com
: se existir
tal que
.
Calculo componente a componente:
Calculo componente a componente:
Todas as razões são iguais a
. Logo
. Isso mostra que
é paralela a
(podem coincidir ou ser distintas; ainda não sabemos).
Compare
com
:
Todas as razões são
. Logo
. Assim
também é paralela a
. Observação: como
e
também são proporcionais entre si (por uma constante
), todos os três planos têm a mesma direção normal — isto significa que todos os três são paralelos entre si (em termos de orientação).
Passo 5
Agora precisamos distinguir entre planos paralelos coincidentes ou paralelos distintos. A regra prática: se
e também
(onde
é o termo independente da forma
), então os planos coincidem; se os
não satisfazem essa proporção, são paralelos distintos.
Pegamos os termos independentes (eles vêm das equações dadas):
Passo 6
Verificamos
e
: já vimos que
. Agora testamos a constante:
Como o mesmo fator
que relaciona os normais relaciona também os termos independentes, concluímos que
coincide com
. Em outras palavras,
e
são o mesmo plano escrito com equações proporcionais.
Passo 7
Verificamos
e
: vimos que
. Testamos o termo independente com esse fator:
Como o termo independente não satisfaz a mesma proporção,
não coincide com
; é apenas paralela a ela. Como
coincide com
, segue que
também é paralela a
e distinta.
Geometricamente: todos têm a mesma direção normal, logo são planos paralelos;
e
são o mesmo plano, e
é um plano paralelo separado (não se intersectam).