a) Determinar h^prime(t) em função das derivadas parciais de f.
b) Sabendo que partial fpartial x(e^2 pi,-1)=1e^2 pi, determinar h^prime(pi).
10. Sejam z=f(x, y), x=x(t), y=y(t). Obter a derivada d^2 hd t^2, sendo h a função composta h(t)=f(x(t), y(t)).

Passo 1

O enunciado trata da regra da cadeia para funções compostas: temos
h(t)=fl(x(t),y(t)r)
e queremos (a) a expressão de h'(t) em termos de partial fpartial x e partial fpartial y, (b) o valor de h'(pi) sabendo que em t=pi o ponto l(x(pi),y(pi)r)=(e^2pi,-1) e partial fpartial x(e^2pi,-1)=1e^2pi, e (c) a expressão de d^2hdt^2. Vamos usar regra da cadeia e, no caso de (b), inferir que x(t)=e^2t (pois x(pi)=e^2pi) e y(t)=-1 constante.

Passo 2

Pela regra da cadeia para duas variáveis,
h'(t) =ddt,fl(x(t),y(t)r) =partial fpartial xl(x(t),y(t)r),x'(t) +partial fpartial yl(x(t),y(t)r),y'(t)

Passo 3

Para o item (b) usamos x(t)=e^2t e y(t)=-1. Então
x'(t)=2e^2t, y'(t)=0,
e
h'(t) =partial fpartial xl(e^2t,-1r),2e^2t +partial fpartial yl(e^2t,-1r),0 =2e^2t,partial fpartial xl(e^2t,-1r)
Em t=pi temos partial fpartial x(e^2pi,-1)=tfrac1e^2pi, logo
h'(pi) =2e^2picdot1e^2pi =2

Passo 4

Para obter d^2hdt^2 derivamos novamente
h'(t) =fx,x'+fy,y',
onde abreviamos fx=partial fpartial x(x(t),y(t)) e fy=partial fpartial y(x(t),y(t)). Então
d^2hdt^2 =ddtl(fx,x'r) +ddtl(fy,y'r)
Aplicando produto e cadeia:
ddt(fx,x') =(fxx,x'+fxy,y'),x' + fx,x'',
ddt(fy,y') =(fyx,x'+fyy,y'),y' + fy,y''
Como fxy=fyx, somando dá
d^2hdt^2 =fxx(x')^2 + 2,fxy,x'y' + fyy(y')^2 +fx,x''+fy,y''

Resposta

a) h'(t)=fxl(x(t),y(t)r),x'(t)+fyl(x(t),y(t)r),y'(t)
b) h'(pi)=2
10) d^2hdt^2 =fxx(x')^2+2,fxy,x'y'+fyy(y')^2+fx,x''+fy,y''

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