Questão 6: Fazendo a substituição v=y^prime, resolva a equação y^prime prime+(y^prime)^2=0.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação de segunda ordem
y'' + (y')^2 = 0
fazendo a substituição v = y'. O conteúdo aqui é transformar em uma equação de primeira ordem separável e depois integrar.

Passo 2

Definimos
v = y',
logo
dvdx = y''
Substituindo em y'' + (y')^2 = 0 obtemos
dvdx + v^2 = 0

Passo 3

Isolamos as variáveis para integrar:
dvdx = -,v^2 Longrightarrow dvv^2 = -,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral dvv^2 = -integral dx
No lado esquerdo, integral v^-2dv = -v^-1. Assim,
-,1v = -x + C1

Passo 5

Reescrevendo,
1v = x + C2,
onde C2=-C1. Logo
v = 1x + C2
Mas v=y', então
y' = 1x + C2

Passo 6

Integramos agora em y:
y = integral 1x + C2,dx = lnl|x + C2r| + C3

Resposta

y(x) = lnl|x + C1r| + C2,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

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