Determinar f^{\prime}(p) nos seguintes casos
f(x)=\frac{x}{1+x^{2}} ; p=-1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \,f(x)=\frac{x}{1+x^{2}} no ponto \,p=-1. O conteúdo envolvido é a regra do quociente, e vamos precisar das derivadas de u(x)=x e v(x)=1+x^{2}.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente para f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} onde u'(x)=1 e v'(x)=2x, temos
f'(x) =\frac{v(x)\,u'(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{(1+x^{2})\cdot 1 - x\cdot 2x}{(1+x^{2})^{2}} =\frac{1 - x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 3

Para p=-1, substituindo em f'(x), obtemos
f'(-1) =\frac{1 - (-1)^{2}}{(1+(-1)^{2})^{2}} =\frac{1 - 1}{(1+1)^{2}} =\frac{0}{4} =0.

Resposta

f'(-1)=0

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