Determinar a primeira derivada das seguintes funções
h(t)=1+csc t1-csc t

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar a primeira derivada da função h(t) = 1 + csc t1 - csc t . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente sobre como derivar funções que envolvem funções trigonométricas como a cosecante ( csc t). Para resolver isso, vamos usar a regra do quociente e saber como derivar a função csc t.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função h(t) de uma forma que fique mais fácil de derivar. Sabemos que csc t é o mesmo que 1sin t . Então, podemos substituir:
h(t) = 1 + 1sin t1 - 1sin t
Mas para simplificar ainda mais, vamos deixar a expressão com csc t, pois isso vai facilitar o uso da regra do quociente.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da regra do quociente para derivadas. Se temos uma função que é o quociente de duas funções, ou seja, h(t) = u(t)v(t) , então a derivada h'(t) é dada por:
h'(t) = u'(t) cdot v(t) - u(t) cdot v'(t)[v(t)]^2
Aqui, u(t) = 1 + csc t e v(t) = 1 - csc t .

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas de u(t) e v(t) .
Primeiro, derivamos u(t) :
u(t) = 1 + csc t
u'(t) = 0 + ddt [csc t]
Sabemos que a derivada de csc t é:
ddt [csc t] = -cot t cdot csc t
Então,
u'(t) = -cot t cdot csc t
Agora, derivamos v(t) :
v(t) = 1 - csc t
v'(t) = 0 - ddt [csc t] = -(-cot t cdot csc t) = cot t cdot csc t

Passo 5

Agora que temos u(t) , u'(t) , v(t) e v'(t) , vamos aplicar a regra do quociente:
h'(t) = u'(t) cdot v(t) - u(t) cdot v'(t)[v(t)]^2
Substituindo os valores:
h'(t) = (-cot t cdot csc t)(1 - csc t) - (1 + csc t)(cot t cdot csc t)(1 - csc t)^2

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
= -cot t cdot csc t + cot t cdot csc^2 t - cot t cdot csc t - cot t cdot csc^2 t (1 - csc t)^2
Observamos que os termos cot t cdot csc^2 t se cancelam:
= -cot t cdot csc t - cot t cdot csc t (1 - csc t)^2
= -2 cot t cdot csc t (1 - csc t)^2

Resposta

A primeira derivada da função é:
h'(t) = -2 cot t cdot csc t (1 - csc t)^2

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