Determinar a primeira derivada das seguintes funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar a primeira derivada da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente sobre como derivar funções que envolvem funções trigonométricas como a cosecante (
). Para resolver isso, vamos usar a regra do quociente e saber como derivar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que fique mais fácil de derivar. Sabemos que
é o mesmo que
. Então, podemos substituir:
Mas para simplificar ainda mais, vamos deixar a expressão com
, pois isso vai facilitar o uso da regra do quociente.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da regra do quociente para derivadas. Se temos uma função que é o quociente de duas funções, ou seja,
, então a derivada
é dada por:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas de
e
.
Primeiro, derivamos
:
Sabemos que a derivada de
é:
Então,
Agora, derivamos
:
Passo 5
Agora que temos
,
,
e
, vamos aplicar a regra do quociente:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Observamos que os termos
se cancelam:
Resposta
A primeira derivada da função é: