Determinar a primeira derivada das seguintes funções
f(x)=x^2+3 e^x2 e^x-x

Passo 1

A gente tem a função f(x) = x^2 + 3e^x2e^x - x. O conteúdo aqui é derivada de quociente, então vamos precisar da regra do quociente e das derivadas básicas de x^2 e e^x.

Passo 2

Definimos o numerador u(x) = x^2 + 3e^x e o denominador v(x) = 2e^x - x. As derivadas são
u'(x) = 2x + 3e^x,
v'(x) = 2e^x - 1

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
$$f’(x) = \frac{u’(x)v(x) - u(x)v’(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
$$

Passo 4

Substituindo u, u', v, v' e expandindo cada termo:
u'(x)v(x) = (2x + 3e^x)(2e^x - x) = 4xe^x - 2x^2 + 6e^2x - 3xe^x = x e^x - 2x^2 + 6e^2x,
u(x)v'(x) = (x^2 + 3e^x)(2e^x - 1) = 2x^2e^x - x^2 + 6e^2x - 3e^x

Passo 5

Fazendo a diferença e simplificando o numerador:
u'(x)v(x) - u(x)v'(x) = (x e^x - 2x^2 + 6e^2x) - (2x^2e^x - x^2 + 6e^2x - 3e^x)
= x e^x - 2x^2 + 6e^2x - 2x^2e^x + x^2 - 6e^2x + 3e^x
= -x^2 - 2x^2e^x + e^x(x + 3)

Passo 6

Portanto, juntando tudo, a derivada fica:
$$f’(x) = \frac{-x^2 - 2x2ex + e^x(x + 3)}{(2e^x - x)^2} = \frac{e^x(x + 3) - x2(2ex + 1)}{(2e^x - x)^2}.
$$

Resposta

f'(x) = e^x(x + 3) - x^2l(2e^x + 1r)l(2e^x - xr)^2

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