Determinar a primeira derivada das seguintes funções
Passo 1
A gente tem a função
. O conteúdo aqui é derivada de quociente, então vamos precisar da regra do quociente e das derivadas básicas de
e
.
Passo 2
Definimos o numerador
e o denominador
. As derivadas são
Passo 3
Aplicamos a regra do quociente:
$$f’(x) = \frac{u’(x)v(x) - u(x)v’(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
$$
Passo 4
Substituindo
e expandindo cada termo:
Passo 5
Fazendo a diferença e simplificando o numerador:
Passo 6
Portanto, juntando tudo, a derivada fica:
$$f’(x) = \frac{-x^2 - 2x2ex + e^x(x + 3)}{(2e^x - x)^2} = \frac{e^x(x + 3) - x2(2ex + 1)}{(2e^x - x)^2}.
$$