Questão
pontos) a) (1,5 pontos) Use a transformada de Laplace para calcular
onde
Passo 1
Vamos lá! A gente tem que calcular $ e^{\mathbf{A} t} $ usando a transformada de Laplace, onde a matriz $ \mathbf{A} $ é dada por:
Aqui, estamos trabalhando com matrizes e transformadas de Laplace, que são ferramentas usadas para resolver sistemas de equações diferenciais e calcular exponenciais de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de $ e^{\mathbf{A} t} $ é dada por:
Aqui, $ s $ é a variável da transformada de Laplace e $ \mathbf{I} $ é a matriz identidade. Nosso objetivo é encontrar $ e^{\mathbf{A} t} $, então precisamos calcular a inversa de $ (s\mathbf{I} - \mathbf{A}) $.
Passo 3
Vamos montar a matriz $ s\mathbf{I} - \mathbf{A} $:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a inversa dessa matriz. Para uma matriz $
$, a inversa é:
Vamos calcular o determinante $ ad - bc $:
Então, a inversa é:
Passo 5
Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa para encontrar $ e^{\mathbf{A} t} $. Observamos que o denominador $ s^2 - 2s + 4 $ pode ser reescrito para facilitar a inversão:
Sabemos que a transformada inversa de $ \frac{s - a}{(s - a)^2 + b^2} $ é $ e^{a t} \cos(bt) $ e de $ \frac{b}{(s - a)^2 + b^2} $ é $ e^{a t} \sin(bt) $.
Aplicando isso, temos: