Questão 3(3,0 pontos) a) (1,5 pontos) Use a transformada de Laplace para calcular e^A t onde
A=(cc 0 & -2 2 & 2 )

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que calcular $ e^{\mathbf{A} t} $ usando a transformada de Laplace, onde a matriz $ \mathbf{A} $ é dada por:
e^A t
Aqui, estamos trabalhando com matrizes e transformadas de Laplace, que são ferramentas usadas para resolver sistemas de equações diferenciais e calcular exponenciais de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de $ e^{\mathbf{A} t} $ é dada por:
e^A t
Aqui, $ s $ é a variável da transformada de Laplace e $ \mathbf{I} $ é a matriz identidade. Nosso objetivo é encontrar $ e^{\mathbf{A} t} $, então precisamos calcular a inversa de $ (s\mathbf{I} - \mathbf{A}) $.

Passo 3

Vamos montar a matriz $ s\mathbf{I} - \mathbf{A} $:
sI - A

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a inversa dessa matriz. Para uma matriz $ a & b c & d $, a inversa é:
1ad - bc d & -b -c & a
Vamos calcular o determinante $ ad - bc $:
ad - bc
Então, a inversa é:
ad - bc = s(s - 2) - (2)(-2) = s^2 - 2s + 4

Passo 5

Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa para encontrar $ e^{\mathbf{A} t} $. Observamos que o denominador $ s^2 - 2s + 4 $ pode ser reescrito para facilitar a inversão:
e^A t
Sabemos que a transformada inversa de $ \frac{s - a}{(s - a)^2 + b^2} $ é $ e^{a t} \cos(bt) $ e de $ \frac{b}{(s - a)^2 + b^2} $ é $ e^{a t} \sin(bt) $.
Aplicando isso, temos:
s^2 - 2s + 4 óãçã

Resposta

e^A t = e^t cos(raiz3, t) & -2raiz3 sin(raiz3, t) 2raiz3 sin(raiz3, t) & cos(raiz3, t)

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