Determinar as primeiras e segundas derivadas parciais de f(x, y)=cos (3 x-y).

Passo 1

A questão pede as derivadas parciais de f(x,y)=cos(3x-y). Aqui o conteúdo é derivadas parciais e vamos usar a regra da cadeia: para uma composição cos(u), vale dducos(u)=-sin(u). Depois multiplicamos pela derivada de u=3x-y em relação a x (que é 3) ou a y (que é -1).

Passo 2

Para encontrar a derivada parcial em x, tratamos y como constante e aplicamos a regra da cadeia:
fx(x,y)=-3sin(3x-y)

Passo 3

Para a derivada parcial em y, tratamos x como constante e novamente usamos a regra da cadeia:
fy(x,y)=sin(3x-y)

Passo 4

Agora, para as segundas derivadas, derivamos cada parcial obtida novamente aplicando a regra da cadeia:
fxx(x,y)=-9cos(3x-y)
fxy(x,y)=3cos(3x-y)
fyx(x,y)=3cos(3x-y)
fyy(x,y)=-cos(3x-y)

Resposta

As derivadas parciais são:
fx(x,y)=-3sin(3x-y),
fy(x,y)=sin(3x-y),
fxx(x,y)=-9cos(3x-y),
fxy(x,y)=fyx(x,y)=3cos(3x-y),
fyy(x,y)=-cos(3x-y).

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