Se sumn=0^infty an z^n é a série de potências de (1-z^2) sen z em torno de z0=0, determine o valor de a3.
e) -1 .

Passo 1

O enunciado pede pra achar o coeficiente a₃ da série de potências de f(z)=(1−z²)·sen z em torno de z₀=0. Vamos usar a expansão de sen z e multiplicar por (1−z²).

Passo 2

Sabemos que sen z tem expansão em torno de 0 dada por:
sen z = z - z^36 + z^5120 + cdots
Como só nos interessa até z³, podemos truncar aqui.

Passo 3

Agora calculamos f(z)=(1−z²)·sen z = sen z − z²·sen z. Vamos expandir cada parte até ordem z³:
• sen z ≈ z − \tfrac{z^3}{6}
• z²·sen z ≈ z²·(z) = z^3

Passo 4

Subtraindo as duas parcelas até ordem z³:
f(z) ≈ l(z - tfracz^36r) - l(z^3r) = z - l(tfrac16 + 1r)z^3 = z - tfrac76z^3
Daí o coeficiente do termo z³ é a₃=−7/6.

Resposta

-7/6

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