Se
é a série de potências de
sen
em torno de
, determine o valor de
.
e) -1 .
e) -1 .
Passo 1
O enunciado pede pra achar o coeficiente a₃ da série de potências de f(z)=(1−z²)·sen z em torno de z₀=0. Vamos usar a expansão de sen z e multiplicar por (1−z²).
Passo 2
Sabemos que sen z tem expansão em torno de 0 dada por:
Como só nos interessa até z³, podemos truncar aqui.
Passo 3
Agora calculamos f(z)=(1−z²)·sen z = sen z − z²·sen z. Vamos expandir cada parte até ordem z³:
• sen z ≈ z − \tfrac{z^3}{6}
• z²·sen z ≈ z²·(z) = z^3
• sen z ≈ z − \tfrac{z^3}{6}
• z²·sen z ≈ z²·(z) = z^3
Passo 4
Subtraindo as duas parcelas até ordem z³:
Daí o coeficiente do termo z³ é a₃=−7/6.
Resposta
-7/6