Se sumn=0^infty an z^n é a série de potências de 1+z1-z em torno de z0=0, determine o valor de a3.
d) -2

Passo 1

A série de potências que queremos é a expansão de f(z)=1+z1-z em torno de z0=0, e precisamos encontrar o coeficiente a3.

Passo 2

Lembrando da série geométrica, temos a expansão válida para |z|<1:
11-z=sumn=0^inftyz^n

Passo 3

Multiplicamos essa expansão por 1+z:
1+z1-z=(1+z)sumn=0^inftyz^n=sumn=0^inftyz^n+sumn=0^inftyz^n+1

Passo 4

Reescrevendo o segundo somatório com índice começando em n=1:
1+z1-z=sumn=0^inftyz^n+sumn=1^inftyz^n

Passo 5

Agrupando em um único somatório, vemos que para n=0 o coeficiente é 1 e para n>=1 cada termo aparece duas vezes, ou seja, coeficiente 2. Portanto, an=2 para n>=1.

Resposta

a_3 = 2

Exercícios relacionados