Sabendo que o vetor gradiente de uma função
aponta na direção e no sentido em que
cresce mais rapidamente, resolva o problema:
Seja a temperatura do ar em pontos do espaço dada pela função
. Uma borboleta localizada em
deseja fugir do calor o mais rápido possível. Em que direção ela deve voar?
Seja a temperatura do ar em pontos do espaço dada pela função
Passo 1
O enunciado dá a temperatura do ar como f(x,y,z)=x²−y²+z e pede a direção em que f decresce mais rápido a partir de (1,2,1). O conteúdo principal é o gradiente e a direção de decréscimo mais rápido, que é −∇f.
Passo 2
Para aplicar isso, primeiro calculamos o gradiente de f. Sabendo que ∂f/∂x=2x, ∂f/∂y=−2y e ∂f/∂z=1, temos
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente no ponto (1,2,1):
Passo 4
A borboleta quer fugir do calor, ou seja, seguir a direção de decréscimo mais rápido de f, que é −∇f(1,2,1). Logo o vetor direção é
Opcionalmente, o vetor unitário nessa direção é esse vetor dividido por sua norma √21, resultando em
Resposta
A borboleta deve voar na direção do vetor unitário
, que é o sentido de −∇f(1,2,1).