Sabendo que o vetor gradiente de uma função f aponta na direção e no sentido em que f cresce mais rapidamente, resolva o problema:
Seja a temperatura do ar em pontos do espaço dada pela função f(x, y, z)=x^2-y^2+z. Uma borboleta localizada em (1,2,1) deseja fugir do calor o mais rápido possível. Em que direção ela deve voar?

Passo 1

O enunciado dá a temperatura do ar como f(x,y,z)=x²−y²+z e pede a direção em que f decresce mais rápido a partir de (1,2,1). O conteúdo principal é o gradiente e a direção de decréscimo mais rápido, que é −∇f.

Passo 2

Para aplicar isso, primeiro calculamos o gradiente de f. Sabendo que ∂f/∂x=2x, ∂f/∂y=−2y e ∂f/∂z=1, temos

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente no ponto (1,2,1):

Passo 4

A borboleta quer fugir do calor, ou seja, seguir a direção de decréscimo mais rápido de f, que é −∇f(1,2,1). Logo o vetor direção é

Opcionalmente, o vetor unitário nessa direção é esse vetor dividido por sua norma √21, resultando em

Resposta

A borboleta deve voar na direção do vetor unitário tfrac(-2,,4,,-1)raiz21, que é o sentido de −∇f(1,2,1).

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