Determinar a produção de um caminhão fora-de-estrada (descarga traseira) que trafega numa pista com as seguintes características:
Características do caminhão:
Potência do volante: \mathrm{N}_{\mathrm{o}}=225 \mathrm{HP}
Capacidade coroada: \mathrm{C}=14,0 \mathrm{~m}^{3}
Rendimento mecânico da transmissão: \eta_{\mathrm{m}}=0,85
Peso vazio =16,6 \mathrm{t}
Velocidade máxima: \mathrm{V}_{\text {max }}=56 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.
Marcha
Esforço trator máximo (kg)
(transmissão mecânica)
1 a 11.000
2! 6.500
3! 3.000
4! 2.200
5! 1.200

Passo 1

Vou listar com calma tudo o que o enunciado deu (e o que eu vou assumir, porque faltam alguns dados típicos em enunciados práticos — vou explicitar as hipóteses para a conta):
Dados fornecidos:
  • Potência no volante: \mathrm{N}_{\mathrm{o}}=225\\ \mathrm{HP}.
  • Capacidade do caçamba (coroada): \mathrm{C}=14{,}0\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Rendimento mecânico da transmissão: \eta_{\mathrm{m}}=0{,}85.
  • Peso vazio do caminhão: 16{,}6\\ \mathrm{t}.
  • Velocidade máxima: \mathrm{V}_{\text{max}}=56\\ \mathrm{km/h}.
  • Esforço trator máximo (em kgf) por marcha (dado na tabela):
    • 1ª: 11\,000\\ \mathrm{kgf}
    • 2ª: 6\,500\\ \mathrm{kgf}
    • 3ª: 3\,000\\ \mathrm{kgf}
    • 4ª: 2\,200\\ \mathrm{kgf}
    • 5ª: 1\,200\\ \mathrm{kgf}
  • Trecho AB: L_{1}=1{,}800\\ \mathrm{m} com inclinação i_{1}=4\%.
  • Trecho BC: L_{2}=1{,}200\\ \mathrm{m} com inclinação i_{2}=0\%.
  • O trajeto A→C (3000 m) é feito carregado; o retorno C→A (3000 m) é feito vazio (conforme a figura).
Hipóteses (explicito para não deixar a conta no ar — são valores típicos usados em problemas práticos):
  • Densidade aparente do material (terra solta) para converter volume em massa: \rho=1{,}6\\ \mathrm{t/m^{3}}.
  • Coeficiente de resistência ao rolamento:
    • carregado: f_{\text{car}}=0{,}03 (valor típico para caminhão em pista não-ideal).
    • vazio: f_{\text{vaz}}=0{,}02.
  • Tempos operacionais fixos por ciclo:
    • tempo de carregamento: t_{\text{carreg}}=3{,}0\\ \mathrm{min}.
    • tempo de descarga: t_{\text{desc}}=0{,}5\\ \mathrm{min}.
Obs.: eu explicitei essas hipóteses porque o enunciado não deu densidade nem tempos de carga/descarga nem coeficientes de rolamento. Se você tiver outros valores (por ex. \rho=1{,}8\\ \mathrm{t/m^{3}} ou tempos diferentes), me diga depois que eu refaço. Agora sigo com essas hipóteses para resolver.

Passo 2

Calcular o peso carregado (massa total quando carregado).
  • Massa da carga: \mathrm{M_{carga}}=\mathrm{C}\cdot \rho = 14{,}0\\ \mathrm{m^{3}}\cdot 1{,}6\\ \mathrm{t/m^{3}} = 22{,}4\\ \mathrm{t}.
  • Massa total carregada: \mathrm{M_{carreg}}=\mathrm{M_{vazio}}+\mathrm{M_{carga}}=16{,}6+22{,}4=39{,}0\\ \mathrm{t}.
Vou trabalhar em unidades de “kgf” (onde 1\\ \mathrm{t}=1000\\ \mathrm{kg} e, em kgf, a massa em kg corresponde numericamente à força em kgf). Assim:
  • Peso carregado (em kgf): W_{\text{car}}=39{,}000\\ \mathrm{kgf}.
  • Peso vazio (em kgf): W_{\text{vaz}}=16{,}600\\ \mathrm{kgf}.

Passo 3

Transformar a potência e obter a força tratora disponível em função da velocidade.
Explicação da fórmula (passo didático): a potência útil transmitida às rodas é a potência no volante menos perdas na transmissão; em potência útil:
P_{\text{útil}} = N_{o}\cdot \eta_{m}.ú
Unidade prática: 1\\ \mathrm{HP}\approx 735{,}5\\ \mathrm{W}, mas é muito prático usar a equivalência usual em engenharia de terraplenagem:
1\\ \mathrm{HP} \approx 75\\ \text{(kgf·m/s)}.
Então a potência útil, expressa em \mathrm{kgf\cdot m/s}, é:
P_{\text{kgf·m/s}} = N_{o}\cdot \eta_{m}\cdot 75.
A força disponível nas rodas em kgf para uma velocidade V (em m/s) é:
F_{\text{disp}}\\ (\mathrm{kgf})=\frac{P_{\text{kgf·m/s}}}{V}.
Agora calculo P_{\text{kgf·m/s}}:
P_{\text{kgf·m/s}} = 225\cdot 0{,}85 \cdot 75 = 191{,}25\cdot 75 = 14\,343{,}75\\ \text{kgf·m/s}.
Portanto
F_{\text{disp}}(V)=\frac{14\,343{,}75}{V\\ (\mathrm{m/s})}\\ \\ (\mathrm{kgf}).
Observação sobre marchas: a tabela dá um esforço máximo por marcha (em kgf). Isso limita a força que a transmissão pode prover em baixas velocidades. Em cada trecho eu verificarei se a força requerida é menor que o esforço máximo da marcha escolhida — se for maior, aquela marcha não é suficiente. No nosso caso a resistência requerida será bem menor que os máximos listados, então haverá marcha disponível.

Passo 4

Calcular as resistências (forças a vencer) nos trechos — montar as fórmulas e explicar.
Resistência total a vencer (aproximação comum) é soma de:
  • resistência de rolamento: R_{\text{rol}} = W\cdot f,
  • resistência de aclive (ou declive): R_{\text{acl}} = W\cdot i (sinal positivo se subida, negativo se descida),
    onde W é o peso em kgf, f coef. rolamento e i inclinação em decimal (por ex. 4\%\Rightarrow 0{,}04).
Calculo para cada trecho carregado:
  1. Trecho AB (subida i_{1}=4\%, comprimento L_{1}=1800\\ \mathrm{m}), carregado:
  • R_{\text{rol,car}} = W_{\text{car}}\cdot f_{\text{car}} = 39\,000\cdot 0{,}03 = 1\,170\\ \mathrm{kgf}.
  • R_{\text{acl,car}} = W_{\text{car}}\cdot i_{1} = 39\,000\cdot 0{,}04 = 1\,560\\ \mathrm{kgf}.
  • Resistência total carregado no AB:
R_{\text{AB,car}} = 1\,170 + 1\,560 = 2\,730\\ \mathrm{kgf}.
  1. Trecho BC (plano i_{2}=0\%, comprimento L_{2}=1200\\ \mathrm{m}), carregado:
  • R_{\text{BC,car}} = W_{\text{car}}\cdot f_{\text{car}} = 1\,170\\ \mathrm{kgf}.
Agora para o retorno vazio (C→B plano e B→A descida -4\%):
3) Trecho CB (plano, vazio):
  • R_{\text{CB,vaz}} = W_{\text{vaz}}\cdot f_{\text{vaz}} = 16\,600\cdot 0{,}02 = 332\\ \mathrm{kgf}.
  1. Trecho BA (descida de 4\%, vazio): o termo de aclive é negativo (ajuda), então
  • R_{\text{acl,vaz}} = W_{\text{vaz}}\cdot (-0{,}04) = -664\\ \mathrm{kgf}.
  • Resistência total no BA vazio:
R_{\text{BA,vaz}} = R_{\text{rol,vaz}} + R_{\text{acl,vaz}} = 332 - 664 = -332\\ \mathrm{kgf}.
(O valor negativo indica que a gravidade ajuda o veículo — não é necessário tratorar; na prática o caminhão usaria freios/controle e a velocidade será limitada pela segurança e pela velocidade máxima do veículo.)

Passo 5

Determinar as velocidades estáveis em cada trecho a partir do equilíbrio potência versus resistência.
Explicação: para andar a velocidade V de regime, a força disponível nas rodas F_{\text{disp}}(V) deve ser igual (ou maior) que a resistência total R (usamos unidades kgf). Assim, para segmentos com R>0 (há resistência a vencer) podemos encontrar a máxima velocidade V tal que
F_{\text{disp}}(V)=R \quad\Longrightarrow\quad V=\frac{14\,343{,}75}{R}.
Para trechos com R\le 0 não há limite de potência (a não ser V_max do veículo), então a velocidade é limitada por \mathrm{V_{max}} ou por condições de segurança.
Calculos:
  1. Trecho AB carregado (resistência R_{\text{AB,car}}=2\,730\\ \mathrm{kgf}).
V_{\text{AB,car}} = \frac{14\,343{,}75}{2\,730} = 5{,}256\\ \mathrm{m/s} = 5{,}256\cdot 3{,}6 = 18{,}92\\ \mathrm{km/h}.
  1. Trecho BC carregado (resistência R_{\text{BC,car}}=1\,170\\ \mathrm{kgf}).
V_{\text{BC,car}} = \frac{14\,343{,}75}{1\,170} = 12{,}26\\ \mathrm{m/s} = 12{,}26\cdot 3{,}6 = 44{,}14\\ \mathrm{km/h}.
Verifico o limite superior: \mathrm{V_{BC,car}}=44{,}14\\ \mathrm{km/h} é menor que \mathrm{V_{max}}=56\\ \mathrm{km/h}, logo o limite real é a potência (não o limite de velocidade do veículo).
  1. Trecho CB vazio (resistência R_{\text{CB,vaz}}=332\\ \mathrm{kgf}):
V_{\text{CB,vaz}} = \frac{14\,343{,}75}{332} = 43{,}19\\ \mathrm{m/s} = 155{,}48\\ \mathrm{km/h}.
Isto é muito acima de \mathrm{V_{max}}=56\\ \mathrm{km/h}, portanto na prática o caminhão roda no máximo \mathrm{V_{max}} no trecho plano vazio. Logo:
V_{\text{CB,vaz}} = 56\\ \mathrm{km/h}.
  1. Trecho BA vazio (descida): a resistência total é negativa ( -332\\ \mathrm{kgf}), significa que a gravidade empurra. O caminhão não precisa de potência para manter velocidade; a velocidade será limitada por controle/freio e por \mathrm{V_{max}}. Então aqui assumimos:
V_{\text{BA,vaz}} = 56\\ \mathrm{km/h}.
Observação sobre marchas: devemos garantir que para as resistências positivas R exista uma marcha capaz de fornecer R (isto é, marcha cujo esforço máximo listado na tabela seja \ge R). Comparando:
  • R_{\text{AB,car}}=2\,730\\ \mathrm{kgf} — a marcha 3ª tem esforço máximo 3\,000\\ \mathrm{kgf}, logo a marcha 3ª seria suficiente para prover a força, ou a 2ª/1ª que têm maior esforço também serviriam. Então há marcha adequada.
  • R_{\text{BC,car}}=1\,170\\ \mathrm{kgf} — marcha 5ª tem 1\,200\\ \mathrm{kgf}, então 5ª serve.
  • R_{\text{CB,vaz}}=332\\ \mathrm{kgf} — até 5ª dá conta (tem 1.200 kgf).
    Tudo consistente: não ficamos impedidos por limites de marcha.

Passo 6

Calcular os tempos de deslocamento em cada trecho (usar velocidades em m/s para ficar consistente).
Converter velocidades encontradas para \mathrm{m/s}:
  • V_{\text{AB,car}} = 5{,}256\\ \mathrm{m/s}.
  • V_{\text{BC,car}} = 12{,}26\\ \mathrm{m/s}.
  • V_{\text{CB,vaz}} = 56\\ \mathrm{km/h} = 56/3{,}6 = 15{,}556\\ \mathrm{m/s}.
  • V_{\text{BA,vaz}} = 15{,}556\\ \mathrm{m/s}.
Tempos (tempo = distância / velocidade):
  • Tempo AB carregado:
t_{\text{AB,car}} = \frac{1\,800}{5{,}256} = 342{,}6\\ \mathrm{s} = 5{,}71\\ \mathrm{min}.
  • Tempo BC carregado:
t_{\text{BC,car}} = \frac{1\,200}{12{,}26} = 97{,}9\\ \mathrm{s} = 1{,}63\\ \mathrm{min}.
  • Tempo CB vazio (plano):
t_{\text{CB,vaz}} = \frac{1\,200}{15{,}556} = 77{,}16\\ \mathrm{s} = 1{,}29\\ \mathrm{min}.
  • Tempo BA vazio (descida):
t_{\text{BA,vaz}} = \frac{1\,800}{15{,}556} = 115{,}7\\ \mathrm{s} = 1{,}93\\ \mathrm{min}.
Somando os trechos de deslocamento para a viagem completa (ida carregada A→C mais retorno vazio C→A):
t_{\text{ida,car}} = 342{,}6 + 97{,}9 = 440{,}5\\ \mathrm{s} = 7{,}34\\ \mathrm{min}.
t_{\text{ret,vaz}} = 77{,}16 + 115{,}7 = 192{,}9\\ \mathrm{s} = 3{,}215\\ \mathrm{min}.
t_{\text{desloc,total}} = 440{,}5 + 192{,}9 = 633{,}4\\ \mathrm{s} = 10{,}56\\ \mathrm{min}.

Passo 7

Incluir tempos fixos de operação (carga e descarga) e calcular o ciclo total, viagens por hora e produção.
Tempos operacionais (hipóteses):
  • Carregamento: t_{\text{carreg}}=3{,}0\\ \mathrm{min}=180\\ \mathrm{s}.
  • Descarga: t_{\text{desc}}=0{,}5\\ \mathrm{min}=30\\ \mathrm{s}.
Tempo total por ciclo:
t_{\text{ciclo}} = t_{\text{desloc,total}} + t_{\text{carreg}} + t_{\text{desc}} = 633{,}4\\ \mathrm{s} + 180\\ \mathrm{s} + 30\\ \mathrm{s} = 843{,}4\\ \mathrm{s}.
Em minutos: 843{,}4\\ \mathrm{s} = 14{,}06\\ \mathrm{min}.
Viagens por hora:
\text{viagens/h} = \frac{3600\\ \mathrm{s}}{t_{\text{ciclo}}} = \frac{3600}{843{,}4} = 4{,}27\\ \text{viagens/h}.
Produção volumétrica (m³/h):
Q_{v} = \mathrm{C}\cdot \text{viagens/h} = 14{,}0\\ \mathrm{m^{3}} \cdot 4{,}27 = 59{,}78\\ \mathrm{m^{3}/h}.
Produção em massa (t/h), útil para obra:
Q_{m} = Q_{v}\cdot \rho = 59{,}78\\ \mathrm{m^{3}/h}\cdot 1{,}6\\ \mathrm{t/m^{3}} = 95{,}65\\ \mathrm{t/h}.
Arredondando sensatamente:
  • Q_{v}\approx 60{,}0\\ \mathrm{m^{3}/h}.
  • Q_{m}\approx 95{,}6\\ \mathrm{t/h}.
Vou deixar os números com 2 casas decimais na resposta final.

Resposta

59{,}78\\ \mathrm{m^{3}/h}
95{,}65\\ \mathrm{t/h}

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