Como determinar o produto escalar \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} de dois vetores se você conhece seus comprimentos e o ângulo entre eles? E se você conhece suas componentes?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas:
  • Como determinar o produto escalar se você conhece os comprimentos dos vetores e o ângulo entre eles.
  • Como determinar o produto escalar se você conhece as componentes dos vetores.
Informações dadas que vou usar:
  • Em um caso: os comprimentos |\mathbf{a}|, |\mathbf{b}| e o ângulo \theta entre \mathbf{a} e \mathbf{b}.
  • No outro caso: as componentes dos vetores em uma base ortonormal, por exemplo \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) (posso adaptar para 2D ou n dimensões).

Passo 2

Intuição geométrica rápida (sem fórmulas ainda):
  • O produto escalar é um número que mede quanto um vetor “projeta” no outro. Se \mathbf{b} tem uma parte na direção de \mathbf{a}, essa parte contribui positivamente; se está na direção oposta, contribui negativamente; se é perpendicular, contribui zero.
  • A componente de \mathbf{b} na direção de \mathbf{a} é dada por |\mathbf{b}|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre eles. Multiplicar essa componente por o comprimento de \mathbf{a} dá o produto escalar.

Passo 3

Derivação da fórmula usando projeção:
  • A componente de \mathbf{b} ao longo da direção de \mathbf{a} vale |\mathbf{b}|\cos\theta.
  • O produto escalar é o comprimento de \mathbf{a} vezes essa projeção:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}|\bigl(|\mathbf{b}|\cos\theta\bigr).
  • Portanto obtemos a fórmula clássica em formato final:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta.

Passo 4

Como usar essa fórmula na prática (passo a passo para a prova):
  1. Calcule ou identifique |\mathbf{a}| e |\mathbf{b}|.
  2. Use o ângulo \theta entre eles (em radianos ou graus, mas use a função cosseno correspondente).
  3. Calcule |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta.
Exemplo numérico rápido:
  • Se |\mathbf{a}|=5, |\mathbf{b}|=4 e \theta=60^\circ, então
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=5\cdot4\cdot\cos 60^\circ=20\cdot\tfrac{1}{2}=10.

Passo 5

Agora o caso das componentes: ideia e derivação
  • Suponha que a base usada seja ortonormal (vetores de base com comprimento 1 e mutuamente perpendiculares). Essa é a hipótese usual em exercícios.
  • Escreva \mathbf{a} e \mathbf{b} como somas das componentes:
\mathbf{a}=\sum_{i=1}^{n} a_i\mathbf{e}_i,\qquad \mathbf{b}=\sum_{i=1}^{n} b_i\mathbf{e}_i,
onde \{\mathbf{e}_i\} é a base ortonormal.
  • Usando bilinearidade do produto escalar e \mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j=\delta_{ij} (delta de Kronecker), obtemos
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\sum_{i=1}^{n} a_i b_i.

Passo 6

Formas explícitas em dimensões usuais:
  • Em \mathbb{R}^2:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2.
  • Em \mathbb{R}^3:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
  • Em \mathbb{R}^n:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\sum_{i=1}^{n} a_i b_i.

Passo 7

Como calcular passo a passo a partir das componentes (para a prova):
  1. Pegue cada par de componentes correspondentes a_i e b_i.
  2. Multiplique a_i b_i para cada i.
  3. Some todos os produtos: \sum_{i} a_i b_i.
  • Se precisar do ângulo a partir das componentes, calcule primeiro \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} e os comprimentos
|\mathbf{a}|=\sqrt{\sum_i a_i^2},\qquad |\mathbf{b}|=\sqrt{\sum_i b_i^2},
depois use
\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}.
Exemplo prático (ilustrativo):
  • Tome \mathbf{a}=(1,2,3) e \mathbf{b}=(4,-5,2).
  • Produto escalar:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1\cdot4 + 2\cdot(-5) + 3\cdot2 = 4 - 10 + 6 = 0.
  • Como o produto é 0, concluímos que \mathbf{a} e \mathbf{b} são perpendiculares (ângulo 90^\circ), porque \cos\theta=0.

Passo 8

Dicas rápidas e lembretes para a prova
  • Verifique sempre se as componentes estão em uma base ortonormal; se não estiverem, primeiro converta para uma base ortonormal.
  • Se te derem comprimentos e o ângulo use diretamente \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta.
  • Se te derem componentes use \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\sum a_i b_i.
  • Use a relação para achar ângulo: \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\right).

Resposta

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\sum_{i=1}^{n} a_i b_i (em particular \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2(+a_3b_3) em 2D/3D)

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