A equação linear A x+B y+C z+D=0 representa um plano no espaço.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede, claro e simples:
  • Foi dada a equação linear A x + B y + C z + D = 0, com A,B,C,D números reais.
  • A pergunta implícita é: essa equação representa um plano no espaço? Quais casos cobrir (quando é de fato um plano e quando é degenerada)?
  • Informações relevantes: os coeficientes A,B,C podem ser todos zero ou não; isso muda o conjunto de pontos que satisfazem a equação.

Passo 2

Entender o que significa “representar um plano” (sem jargão complicado).
  • Geometricamente, um plano no espaço é uma superfície plana infinita de dimensão 2: pode ser descrito por um ponto que pertence ao plano e por um vetor normal (um vetor perpendicular a todo o plano).
  • Se eu tenho um vetor normal \mathbf{n} e um ponto \mathbf{r_0} do plano, a equação ponto-normal do plano é
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r_0})=0,
onde \mathbf{r}=(x,y,z) é um ponto genérico do plano e \cdot é o produto escalar.
  • Aqui vale notar que o produto escalar de \mathbf{n}=(A,B,C) com \mathbf{r}=(x,y,z) é
\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}=A x + B y + C z.

Passo 3

Relacionar a equação dada com a forma ponto-normal.
  • Escrevendo \mathbf{n}=(A,B,C) e \mathbf{r}=(x,y,z), a equação dada fica
\mathbf{n}\cdot\mathbf{r} + D = 0.
  • Reescrevendo, isso é
\mathbf{n}\cdot\mathbf{r} = -D.
Se existir algum ponto \mathbf{r_0} tal que \mathbf{n}\cdot\mathbf{r_0}=-D, então
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r_0})=0,
o que é exatamente a equação ponto-normal de um plano com vetor normal \mathbf{n}.
  • Portanto, quando \mathbf{n}\neq(0,0,0) (isto é, quando nem todos A,B,C são zero) a equação já tem a forma de um plano com normal \mathbf{n}, desde que consigamos encontrar um ponto \mathbf{r_0} que satisfaça \mathbf{n}\cdot\mathbf{r_0}=-D.

Passo 4

Como encontrar explicitamente um ponto \mathbf{r_0} que satisfaça \mathbf{n}\cdot\mathbf{r_0}=-D (isso é fácil na prática).
  • Se C\neq 0, escolha x_0=0 e y_0=0. Então z_0 precisa satisfazer C z_0 = -D, ou seja
z_0 = -\frac{D}{C},
e assim \mathbf{r_0}=(0,0,-D/C) é um ponto do conjunto.
  • Se C=0 mas B\neq 0, escolha x_0=0 e z_0=0, obtenha y_0=-D/B.
  • Se C=B=0 mas A\neq 0, escolha y_0=0 e z_0=0, obtenha x_0=-D/A.
  • Conclusão prática: sempre que pelo menos um de A,B,C for não nulo, consegue-se facilmente um ponto \mathbf{r_0} que satisfaça a equação.

Passo 5

Obter uma forma paramétrica (útil para visualizar que é uma superfície de dimensão 2).
  • Se C\neq 0, podemos isolar z:
z = -\frac{A}{C}x - \frac{B}{C}y - \frac{D}{C}.
Tomando parâmetros s e t para x e y (por exemplo x=s,\;y=t), obtemos a forma paramétrica
(x,y,z) = \bigl(s,\; t,\; -\tfrac{A}{C}s - \tfrac{B}{C}t - \tfrac{D}{C}\bigr).
Isto é uma tradução de um subespaço linear bidimensional (os vetores direção) por um ponto fixo — exatamente a descrição de um plano.
  • Se C=0 mas outro coeficiente não é zero, análoga procedimento isolando x ou y dá uma parametricidade com dois parâmetros. Logo sempre obtém-se uma família de pontos indexada por dois parâmetros (superfície 2D) quando (A,B,C)\neq(0,0,0).

Passo 6

Dar vetores diretores concretos (interpretá-los para a prova).
  • Um vetor normal é \mathbf{n}=(A,B,C). Vetores diretores quaisquer do plano são vetores \mathbf{v} com \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0.
  • Duas escolhas úteis (quando possível) são, por exemplo, se C\neq 0,
\mathbf{v_1}=\bigl(1,0,-\tfrac{A}{C}\bigr),\qquad \mathbf{v_2}=\bigl(0,1,-\tfrac{B}{C}\bigr),
que aparecem diretamente da forma paramétrica. Esses dois vetores são linearmente independentes, então geram uma reta bidimensional (plano) quando somados à \mathbf{r_0}.
  • Em provas, basta mostrar que existem dois vetores linearmente independentes ortogonais a \mathbf{n} e um ponto \mathbf{r_0}; isso caracteriza o plano.

Passo 7

Tratar os casos degenerados (muito importante para não errar na prova).
  • Se (A,B,C)\neq(0,0,0): a equação representa um plano único no espaço, com vetor normal \mathbf{n}=(A,B,C).
  • Se A=B=C=0, a equação fica D=0. Então:
    • Se D=0, a equação é 0=0 e é satisfeita por todo ponto (x,y,z): o conjunto solução é o espaço inteiro \mathbb{R}^3 (não é um plano próprio).
    • Se D\neq 0, a equação é impossível ( D=0 falsa), logo o conjunto solução é vazio.
  • Resumo prático para a prova: verifique primeiro se A,B,C não são todos nulos; só nesse caso você tem um plano.

Passo 8

Interpretação geométrica e fórmula útil (para decorar e usar rápido na prova).
  • O vetor \mathbf{n}=(A,B,C) é perpendicular (normal) ao plano.
  • A distância do ponto origem (0,0,0) ao plano \,A x + B y + C z + D = 0, é
\frac{|D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},
quando (A,B,C)\neq(0,0,0). (Derivação curta: distância ponto-plano |\mathbf{n}\cdot\mathbf{r_0}+D|/\|\mathbf{n}\| com \mathbf{r_0}=(0,0,0).)
  • Exemplo concreto rápido para fixar: para x+2y+3z+4=0 temos normal (1,2,3). Como A,B,C não são todos zero, isso é um plano; isolando z z=-\tfrac{1}{3}x-\tfrac{2}{3}y-\tfrac{4}{3}, forma paramétrica e vetores diretores (1,0,-\tfrac{1}{3}) e (0,1,-\tfrac{2}{3}).

Passo 9

Como responder na prova (roteiro curto que você pode decorar):
  1. Verificar se (A,B,C)=(0,0,0). Se sim, tratar D=0 (todo espaço) ou D\neq0 (vazio).
  2. Se (A,B,C)\neq(0,0,0), declarar que \mathbf{n}=(A,B,C) é normal e que a equação pode ser escrita como \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r_0})=0 para algum \mathbf{r_0}, logo é um plano.
  3. (Opcional) Apresentar um ponto \mathbf{r_0} explícito e duas direções independentes para dar a forma paramétrica, como mostrado antes.

Resposta

Sim. Quando (A,B,C)\neq(0,0,0) a equação A x + B y + C z + D = 0 representa um plano no espaço, com vetor normal \mathbf{n}=(A,B,C).
Se A=B=C=0 então, se D=0 o conjunto solução é todo \mathbb{R}^3 e se D\neq0 o conjunto solução é vazio.

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