A equação linear
representa um plano no espaço.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede, claro e simples:
- Foi dada a equação linear
, com números reais. - A pergunta implícita é: essa equação representa um plano no espaço? Quais casos cobrir (quando é de fato um plano e quando é degenerada)?
- Informações relevantes: os coeficientes
podem ser todos zero ou não; isso muda o conjunto de pontos que satisfazem a equação.
Passo 2
Entender o que significa “representar um plano” (sem jargão complicado).
- Geometricamente, um plano no espaço é uma superfície plana infinita de dimensão 2: pode ser descrito por um ponto que pertence ao plano e por um vetor normal (um vetor perpendicular a todo o plano).
- Se eu tenho um vetor normal
e um ponto do plano, a equação ponto-normal do plano é
onde
é um ponto genérico do plano e
é o produto escalar.
- Aqui vale notar que o produto escalar de
com é
Passo 3
Relacionar a equação dada com a forma ponto-normal.
- Escrevendo
e , a equação dada fica
- Reescrevendo, isso é
Se existir algum ponto
tal que
, então
o que é exatamente a equação ponto-normal de um plano com vetor normal
.
- Portanto, quando
(isto é, quando nem todos são zero) a equação já tem a forma de um plano com normal , desde que consigamos encontrar um ponto que satisfaça .
Passo 4
Como encontrar explicitamente um ponto
que satisfaça
(isso é fácil na prática).
- Se
, escolha e . Então precisa satisfazer , ou seja
e assim
é um ponto do conjunto.
- Se
mas , escolha e , obtenha . - Se
mas , escolha e , obtenha . - Conclusão prática: sempre que pelo menos um de
for não nulo, consegue-se facilmente um ponto que satisfaça a equação.
Passo 5
Obter uma forma paramétrica (útil para visualizar que é uma superfície de dimensão 2).
- Se
, podemos isolar :
Tomando parâmetros
e
para
e
(por exemplo
), obtemos a forma paramétrica
Isto é uma tradução de um subespaço linear bidimensional (os vetores direção) por um ponto fixo — exatamente a descrição de um plano.
- Se
mas outro coeficiente não é zero, análoga procedimento isolando ou dá uma parametricidade com dois parâmetros. Logo sempre obtém-se uma família de pontos indexada por dois parâmetros (superfície 2D) quando .
Passo 6
Dar vetores diretores concretos (interpretá-los para a prova).
- Um vetor normal é
. Vetores diretores quaisquer do plano são vetores com . - Duas escolhas úteis (quando possível) são, por exemplo, se
,
que aparecem diretamente da forma paramétrica. Esses dois vetores são linearmente independentes, então geram uma reta bidimensional (plano) quando somados à
.
- Em provas, basta mostrar que existem dois vetores linearmente independentes ortogonais a
e um ponto ; isso caracteriza o plano.
Passo 7
Tratar os casos degenerados (muito importante para não errar na prova).
- Se
: a equação representa um plano único no espaço, com vetor normal . - Se
, a equação fica . Então: - Se
, a equação é e é satisfeita por todo ponto : o conjunto solução é o espaço inteiro (não é um plano próprio). - Se
, a equação é impossível ( falsa), logo o conjunto solução é vazio.
- Se
- Resumo prático para a prova: verifique primeiro se
não são todos nulos; só nesse caso você tem um plano.
Passo 8
Interpretação geométrica e fórmula útil (para decorar e usar rápido na prova).
- O vetor
é perpendicular (normal) ao plano. - A distância do ponto origem
ao plano , é
quando
. (Derivação curta: distância ponto-plano
com
.)
- Exemplo concreto rápido para fixar: para
temos normal . Como não são todos zero, isso é um plano; isolando dá , forma paramétrica e vetores diretores e .
Passo 9
Como responder na prova (roteiro curto que você pode decorar):
- Verificar se
. Se sim, tratar (todo espaço) ou (vazio). - Se
, declarar que é normal e que a equação pode ser escrita como para algum , logo é um plano. - (Opcional) Apresentar um ponto
explícito e duas direções independentes para dar a forma paramétrica, como mostrado antes.
Resposta
Sim. Quando
a equação
representa um plano no espaço, com vetor normal
.
Se então, se
o conjunto solução é todo
e se
o conjunto solução é vazio.
Se