Os vértices do eixo menor de uma elipse são B_{1}(0,-4) e B_{2}(0,4) e sua excentricidade é \varepsilon=\frac{3}{5}. Encontre a equação da elipse e as coordenadas de seus focos.

Passo 1

O enunciado dá os vértices do eixo menor de uma elipse em (0,-4) e (0,4), com excentricidade \varepsilon=\tfrac{3}{5}. Queremos achar a equação da elipse e as coordenadas dos focos. O conteúdo é geometria analítica de elipse, usando relações entre semi-eixos e excentricidade.

Passo 2

Os vértices do eixo menor estão a 4 unidades acima e abaixo do centro, logo o centro é (0,0) e o semi-eixo menor vale
b = 4.
Como o eixo menor é vertical, a forma da elipse é
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.

Passo 3

Pela definição de excentricidade temos
\varepsilon = \frac{c}{a} \quad\text{e}\quad c^2 = a^2 - b^2,
onde a é o semi-eixo maior e c a distância do centro a cada foco.

Passo 4

Da relação \varepsilon = \tfrac{c}{a} = \tfrac{3}{5} segue c = \tfrac{3}{5}a. Substituindo em c^2 = a^2 - b^2 com b^2=16:
\Bigl(\tfrac{3}{5}a\Bigr)^2 = a^2 - 16 \;\Longrightarrow\; \tfrac{9}{25}a^2 = a^2 - 16 \;\Longrightarrow\; a^2\Bigl(1 - \tfrac{9}{25}\Bigr) = 16 \;\Longrightarrow\; \tfrac{16}{25}a^2 = 16 \;\Longrightarrow\; a^2 = 25.

Passo 5

Com a^2=25 vem a=5 e c = \tfrac{3}{5}\cdot5 = 3. Portanto:
\text{Equação:}\quad \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1,çã
\text{Focos:}\quad (c,0) = (3,0) \quad\text{e}\quad (-c,0) = (-3,0).

Resposta

A equação da elipse é
\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1
e os focos estão em (3,0) e (-3,0).

Exercícios relacionados