Determinar o raio da base de uma lata de refrigerante cilíndrica de volume 400 ml de modo que o material gasto na fabricação da lata seja mínimo.
Passo 1
Estamos com uma lata cilíndrica de volume 400 ml (ou 400 cm³) e queremos escolher o raio da base de forma que o material gasto (área de superfície) seja mínimo. O conteúdo principal é otimização de funções com restrição de volume; vamos usar a fórmula do volume para eliminar a altura e estudar a área como função de um só parâmetro (o raio).
Passo 2
O volume de um cilindro de raio
e altura
é dado por
Como
, temos
Passo 3
A área de superfície total da lata (tampa + fundo + lateral) é
Substituindo
de cima, obtemos
Passo 4
Para minimizar
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Fazendo
dá
Passo 5
Como queremos o mínimo, conferimos que
, então é mesmo um mínimo. Portanto o raio ótimo é