Determinar o raio da base de uma lata de refrigerante cilíndrica de volume 400 ml de modo que o material gasto na fabricação da lata seja mínimo.

Passo 1

Estamos com uma lata cilíndrica de volume 400 ml (ou 400 cm³) e queremos escolher o raio da base de forma que o material gasto (área de superfície) seja mínimo. O conteúdo principal é otimização de funções com restrição de volume; vamos usar a fórmula do volume para eliminar a altura e estudar a área como função de um só parâmetro (o raio).

Passo 2

O volume de um cilindro de raio r e altura h é dado por V = pi r^2 h Como V = 400, temos pi r^2 h = 400 Longrightarrow h = 400pi r^2

Passo 3

A área de superfície total da lata (tampa + fundo + lateral) é S = 2pi r^2 + 2pi r h Substituindo h de cima, obtemos S(r) = 2pi r^2 + 2pi r cdot 400pi r^2 = 2pi r^2 + 800r

Passo 4

Para minimizar S(r), calculamos a derivada e igualamos a zero: S'(r) = ddrl(2pi r^2 + 800rr) = 4pi r - 800r^2 Fazendo S'(r)=0 4pi r = 800r^2 Longrightarrow 4pi r^3 = 800 Longrightarrow r^3 = 200pi

Passo 5

Como queremos o mínimo, conferimos que S''(r)=4pi + 1600r^3>0, então é mesmo um mínimo. Portanto o raio ótimo é r = raiz[3]200pi cmapprox 3,98 cm

Resposta

r = raiz[3]tfrac200pi cm (aproximadamente 3,98 cm)

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