Funções Custo Marginal - Uma subsidiária da Elektra Eletronics fabrica um aparelho de DVD potátil. A gerência determina que o diário para a produção desses aparelhos de DVD (em dólares) seja dado por C(x)=0,0001 x^3-0,08 x^2+40 x+5000 onde x corresponde ao número de aparelhos de DVD produzidos.
Interprete os resultados.

Passo 1

O enunciado dá a função de custo total diário C(x)=0,0001x^3-0,08x^2+40x+5000, onde x é o número de aparelhos produzidos. O conteúdo é derivadas aplicadas a funções de custo e vamos precisar usar a regra de potência para encontrar o custo marginal.

Passo 2

Para obter o custo marginal, calculamos a derivada de C(x). Usando a regra ddx(ax^n)=anx^n-1, temos:
C'(x)=3cdot0,0001x^2-2cdot0,08x+40
Ou seja:
C'(x)=0,0003x^2-0,16x+40

Passo 3

A constante no custo C(0)=5000 representa o custo fixo diário, que independe de quantos aparelhos são feitos (aluguel, salários fixos etc.). Os termos em potências de x são custos variáveis, que crescem com a produção. O custo marginal C'(x) indica quanto custa produzir uma unidade extra quando já se produzem x aparelhos. Por exemplo, em x=0, C'(0)=40 significa que o primeiro aparelho custa, em média, $40 adicionais (além do custo fixo já incorrido). À medida que 40 adicionais (além do custo fixo já incorrido) À medida que varia, esse custo por unidade muda segundo a parábola varia, esse custo por unidade muda segundo a parábola .

Passo 4

Para entender como o custo marginal evolui, podemos olhar a segunda derivada:
C''(x)=0,0006x-0,16
Igualando a zero, vemos que C''(x)=0 em x=0,160,0006approx266,67. Isso mostra que até cerca de 267 unidades a taxa marginal está diminuindo (economia de escala), e acima disso passa a aumentar (deseconomia de escala).

Resposta

O custo marginal é dado por C'(x)=0,0003x^2-0,16x+40. O custo fixo diário é de $5000 e representa despesas independentes da produção. O custo marginal inicial é $40 por unidade extra, varia conforme a produção e atinge o valor mínimo quando se produzem cerca de 267 aparelhos, indicando o ponto em que começa a haver aumento no custo de cada unidade adicional.

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