Determine as dimensões de um retângulo de área
de modo que seu perímetro seja mínimo.
Passo 1
A questão pede para encontrar as dimensões de um retângulo cuja área é fixa em 64 m² de forma que o perímetro seja mínimo. Esse é um problema de otimização usando derivadas em funções de uma variável.
Passo 2
Seja a largura do retângulo igual a
(em metros) e a altura igual a
. Sabemos que a área é
. O perímetro é dado por
.
Passo 3
A partir da condição de área, isolamos
:
Substituindo em
, obtemos a função de uma única variável:
Passo 4
Para encontrar o mínimo, calculamos a derivada de
e igualamos a zero:
Resolvendo
dá
Então
.
Passo 5
Para confirmar que esse ponto é mínimo, verificamos o sinal da segunda derivada:
Como
, o valor encontrado realmente minimiza o perímetro.
Resposta
As dimensões que minimizam o perímetro são 8 m de largura por 8 m de altura.