Determine as dimensões de um retângulo de área 64 m^2 de modo que seu perímetro seja mínimo.

Passo 1

A questão pede para encontrar as dimensões de um retângulo cuja área é fixa em 64 m² de forma que o perímetro seja mínimo. Esse é um problema de otimização usando derivadas em funções de uma variável.

Passo 2

Seja a largura do retângulo igual a x (em metros) e a altura igual a y. Sabemos que a área é xy=64. O perímetro é dado por P=2(x+y).

Passo 3

A partir da condição de área, isolamos y:
y=64x
Substituindo em P=2(x+y), obtemos a função de uma única variável:
P(x)=2l(x+64xr)

Passo 4

Para encontrar o mínimo, calculamos a derivada de P(x) e igualamos a zero:
P'(x)=2l(1-64x^2r)
Resolvendo P'(x)=0
1-64x^2=0Rightarrow x^2=64Rightarrow x=8 (considerando x>0)
Então y=64/8=8.

Passo 5

Para confirmar que esse ponto é mínimo, verificamos o sinal da segunda derivada:
P''(x)=2cdot128x^3=256x^3>0 para x>0
Como P''(8)>0, o valor encontrado realmente minimiza o perímetro.

Resposta

As dimensões que minimizam o perímetro são 8 m de largura por 8 m de altura.

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