Determinar o raio de convergencia da série de potências
sumn=0^infty (x-1)^2 n n^2n!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o raio de convergência da seguinte série de potências:
sumn=0^infty (x-1)^2 n n^2n!
Matéria envolvida: Séries de potências e testes de convergência, especificamente o Teste da Razão (ou Teste do Quociente).
O que vamos precisar: Entender como aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos aqui. A série está na forma:
sumn=0^infty an (x - c)^n
onde $ a_n = \frac{n^{2}}{n!} $ e $ (x - c)^n = (x - 1)^{2n} $. Perceba que o termo $ (x - 1)^{2n} $ pode ser reescrito como $ [(x - 1)2]n $. Vamos simplificar nossa análise usando uma substituição:
Seja $ y = (x - 1)^2 $. Então, a série fica:
an = n^2n!
Agora, queremos encontrar para quais valores de $ y $ essa série converge. O raio de convergência nessa nova variável $ y $ será o que precisamos.

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão, que é muito útil para séries com termos envolvendo fatoriais.
O Teste da Razão diz que, para a série $ \sum a_n y^n $, calculamos o limite:
sum an y^n
Se $ L |y| < 1 $, a série converge; se $ L |y| > 1 $, a série diverge. O raio de convergência $ R $ é dado por $ R = \frac{1}{L} $.

Passo 4

Vamos calcular esse limite para a nossa série. Aqui, $ a_n = \frac{n^{2}}{n!} $, então:
an = n^2n!
Simplificando:
an+1an = (n+1)^2(n+1)! times n!n^2 = (n+1)^2(n+1) cdot n^2 = n+1n^2

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando $ n $ tende ao infinito:
n

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão, se $ L = 0 $, então $ \frac{1}{R} = 0 $, o que implica que o raio de convergência $ R $ é infinito.
Isso significa que a série converge para todos os valores de $ y $.

Passo 7

Lembrando que fizemos a substituição $ y = (x - 1)^2 $. Como o raio de convergência para $ y $ é infinito, isso significa que não há restrição para $ y $, ou seja, a série converge para qualquer valor de $ y $.
Portanto, a série de potências original converge para todos os valores de $ x $.

Resposta

O raio de convergência da série é infinito ($ R = +\infty $).

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