Resolver a EDO dada mediante uma série de potências em torno de ponto x0=0 (considerando a0=0, a1=1 )
y^prime prime-32 x y^prime+32 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' - tfrac32,x,y' + tfrac32,y = 0
por série de potências em torno de 0, adotando-se as constantes iniciais a0=0 e a1=1. Vamos usar o método de desenvolvimento em série, derivar termo a termo e igualar coeficientes.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma
y(x) = sumn=0^infty an,x^n
Derivando termo a termo, obtemos
y'(x) = sumn=1^infty n,an,x^n-1,
$$y’’(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1),a_n,x^{n-2}.
$$

Passo 3

Substituímos y, y' e y'' na EDO:
sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2 - tfrac32,xsumn=1^infty n an x^n-1 + tfrac32sumn=0^infty an x^n = 0
Reindexando para ter potências x^m iguais, obtemos para todo m>=0:
$$(m+2)(m+1)a_{m+2} - \tfrac32,m,a_m + \tfrac32,a_m = 0.
$$

Passo 4

Da condição de anulação do coeficiente de cada x^m surge a relação de recorrência
am+2 = tfrac32,m - tfrac32(m+2)(m+1),am = 3(m-1)2(m+2)(m+1),am

Passo 5

Aplicando as condições iniciais: a0=0 e a1=1. Para m=0 vem a2=0. Para m=1 vem a3=0. E, por indução nos passos seguintes, todos os an com nneq1 são zero.

Passo 6

Assim, a única contribuição na série é a1x, ou seja
$$y(x)=x.
$$

Resposta

y(x)=x

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