Resolver a EDO dada mediante uma série de potências em torno de ponto
(considerando
)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
por série de potências em torno de 0, adotando-se as constantes iniciais
e
. Vamos usar o método de desenvolvimento em série, derivar termo a termo e igualar coeficientes.
Passo 2
Assumimos uma solução da forma
Derivando termo a termo, obtemos
$$y’’(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1),a_n,x^{n-2}.
$$
Passo 3
Substituímos
,
e
na EDO:
Reindexando para ter potências
iguais, obtemos para todo
:
$$(m+2)(m+1)a_{m+2} - \tfrac32,m,a_m + \tfrac32,a_m = 0.
$$
Passo 4
Da condição de anulação do coeficiente de cada
surge a relação de recorrência
Passo 5
Aplicando as condições iniciais:
e
. Para
vem
. Para
vem
. E, por indução nos passos seguintes, todos os
com
são zero.
Passo 6
Assim, a única contribuição na série é
, ou seja
$$y(x)=x.
$$
Resposta
y(x)=x