Determine as derivadas parciais de primeira ordem
para a função abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de uma função que depende de duas variáveis. A matéria envolvida é o cálculo diferencial, mais especificamente, derivadas parciais. Vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e como aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que queremos derivar. A função dada é:
Aqui, $ t $ é uma constante, e queremos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que é $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} $.
No nosso caso, $ u = x^{2} + y^{2} $. Então, vamos derivar $ u $ em relação a $ x $:
Agora, aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, que é $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ y $ é $ \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dy} $.
Aqui, $ u = x^{2} + y^{2} $. Derivando $ u $ em relação a $ y $:
Aplicando a regra da cadeia:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
e