Achar a solução em série correspondente a maior raiz de equação indicial num ponto singular
Passo 1
O enunciado pede a solução em série em torno de
da equação
. Como
é um ponto singular regular, vamos usar o método de Frobenius: buscar
. Precisamos primeiro achar a equação indicial para determinar as raízes
e depois obter a recorrência dos coeficientes
, escolhendo a maior raiz.
Passo 2
Assumimos a forma de Frobenius
logo
Substituímos tudo na EDO para agrupar potências de .
Substituímos tudo na EDO para agrupar potências de
Passo 3
O termo de menor ordem (
) dá a equação indicial
Passo 4
Resolvendo
obtemos
A maior raiz é
.
Passo 5
Para
, igualando coeficientes de
e deslocando o termo
, obtemos
Passo 6
Substituindo
no colchete, vemos que
Logo a recorrência fica
Passo 7
Escolhendo
e aplicando a recorrência, obtemos
Assim a solução em série para é:
Assim a solução em série para