Achar a solução em série correspondente a maior raiz de equação indicial num ponto singular x0=0
x^2 y^prime prime-52 x y^prime+32(1+x) y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução em série em torno de x=0 da equação x^2y''-tfrac52xy'+tfrac32(1+x)y=0. Como x=0 é um ponto singular regular, vamos usar o método de Frobenius: buscar y=sumn=0^infty anx^n+r. Precisamos primeiro achar a equação indicial para determinar as raízes r e depois obter a recorrência dos coeficientes an, escolhendo a maior raiz.

Passo 2

Assumimos a forma de Frobenius
y=sumn=0^inftyanx^n+r,
logo
x^n+r
Substituímos tudo na EDO para agrupar potências de .

Passo 3

O termo de menor ordem ( n=0) dá a equação indicial
r(r-1)-52r+32=0

Passo 4

Resolvendo r(r-1)-tfrac52r+tfrac32=0 obtemos
2r^2-7r+3=0;n r=3ou r=tfrac12
A maior raiz é r=3.

Passo 5

Para n>=1, igualando coeficientes de x^n+r e deslocando o termo tfrac32x,y, obtemos
l[(n+r)(n+r-1)-tfrac52(n+r)+tfrac32r]an+tfrac32an-1=0

Passo 6

Substituindo r=3 no colchete, vemos que
(n+3)(n+2)-tfrac52(n+3)+tfrac32=n^2+tfrac52n= racn(2n+5)2
Logo a recorrência fica
an=-tfrac32,an-1n^2+tfrac52n=-3,an-1n(2n+5)

Passo 7

Escolhendo a0=1 e aplicando a recorrência, obtemos
a1=-tfrac37, a2=tfrac114, a3=-tfrac1154,dots
Assim a solução em série para r=3 é:

Passo 8

y(x)=x^3l(1-37x+114x^2-1154x^3+cdotsr)

Resposta

y(x)=x^3l(1-37x+114x^2-1154x^3+cdotsr)

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