Resolver a equação de Euler
Passo 1
Nesse exercício vamos resolver a equação de Euler
. Esse tipo de equação, também chamada de equação de Cauchy-Euler, aparece quando os coeficientes são potências de
. Para resolver, a gente costuma usar a tentativa
.
Passo 2
Supondo
, calculamos as derivadas:
Passo 3
Agora substituímos essas expressões na equação original:
Isso simplifica para
e, como
para
, sobra a equação característica.
Passo 4
A equação característica é
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Passo 5
Como as raízes
e
são reais e distintas, a solução geral da equação de Euler é a combinação linear das duas potências de
.
Resposta
A solução geral é
.