Resolver a equação de Euler
x^2 y^prime prime-5 x y^prime+3 y=0

Passo 1

Nesse exercício vamos resolver a equação de Euler x^2y'' - 5x y' + 3y = 0. Esse tipo de equação, também chamada de equação de Cauchy-Euler, aparece quando os coeficientes são potências de x. Para resolver, a gente costuma usar a tentativa y = x^r.

Passo 2

Supondo y = x^r, calculamos as derivadas:
y = x^r, y' = r x^r-1, y'' = r(r-1)x^r-2

Passo 3

Agora substituímos essas expressões na equação original:
Isso simplifica para
e, como x^2[r(r-1)x^r-2r) - 5x[r x^r-1r) + 3(x^r) = 0 para [r(r-1) - 5r + 3r]x^r = 0 , sobra a equação característica.

Passo 4

A equação característica é
r(r-1) - 5r + 3 = 0 ,, Rightarrow r^2 - 6r + 3 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
r = 6 pm raiz(-6)^2 - 4cdot1cdot32 = 6 pm raiz36 - 122 = 6 pm raiz242 = 3 pm raiz6

Passo 5

Como as raízes r1 = 3 + raiz6 e r2 = 3 - raiz6 são reais e distintas, a solução geral da equação de Euler é a combinação linear das duas potências de x.

Resposta

A solução geral é y(x) = C1 x^3 + raiz6 + C2 x^3 - raiz6.

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