Calcule a seguinte integral iterada:
integral0^1 integralx^1 e^y^2 d y d x

Passo 1

Vamos calcular a integral iterada integral0^1 integralx^1 e^y^2 , dy , dx. Esse problema está na área de cálculo integral, especificamente em integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e trabalhar com limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos x variando de 0 a 1 e, para cada x, y varia de x até 1. Isso significa que estamos integrando sobre a área abaixo da linha y = x no quadrado [0,1] × [0,1].

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em y de x a 1, vamos integrar primeiro em x de 0 a y. Assim, a integral fica:
integral0^1 integral0^y e^y^2 , dx , dy

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a x:
integral0^y e^y^2 , dx = e^y^2 cdot x gr|0^y = e^y^2 cdot y

Passo 5

Substituindo de volta na integral externa, temos:
integral0^1 y cdot e^y^2 , dy

Passo 6

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Deixe u = y^2, então du = 2y , dy ou y , dy = du2. A integral fica:
12 integral0^1 e^u , du = 12 ( e^u gr|0^1 ) = 12 (e^1 - e^0) = 12 (e - 1)

Resposta

A integral iterada vale e - 12.

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