Determinar o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada:
sumn=0^infty(-1)^n x^2n+1(2n+1)!
Isso faz parte do estudo de séries de potências na matemática. Para resolver isso, vamos usar o teste do raio de convergência, que nos ajuda a descobrir onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. É uma soma infinita onde cada termo tem uma potência de $ x $ multiplicada por algum coeficiente. Aqui, nossos termos são $ (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $.

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, usamos o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert). Esse teste nos diz que o raio $ R $ pode ser encontrado pela fórmula:
R
Onde $ a_n $ é o $ n $-ésimo termo da série.

Passo 4

Vamos identificar $ a_n $ na nossa série:
an
Agora, precisamos achar $ a_{n+1} $:
an = (-1)^n x^2n+1(2n+1)!

Passo 5

Agora, vamos calcular a razão $ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| $:
| an+1an |
Simplificando:
| an+1an | = | (-1)^n+1 x^2n+3(2n+3)! (-1)^n x^2n+1(2n+1)! | = | -1 cdot x^2n+3x^2n+1 cdot (2n+1)!(2n+3)! |

Passo 6

Agora, aplicamos o limite conforme $ n $ tende ao infinito:
n
Isso porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador.

Passo 7

Segundo o Teste da Razão, se $ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 0 $, isso significa que a série converge para todos os valores de $ x $. Então, o raio de convergência $ R $ é infinito.

Resposta

O raio de convergência da série é $ R = \infty $ e o intervalo de convergência é $ (-\infty, \infty) $.

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