Determinar o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
Passo 1
Beleza! A gente precisa encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada:
Isso faz parte do estudo de séries de potências na matemática. Para resolver isso, vamos usar o teste do raio de convergência, que nos ajuda a descobrir onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. É uma soma infinita onde cada termo tem uma potência de $ x $ multiplicada por algum coeficiente. Aqui, nossos termos são $ (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $.
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, usamos o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert). Esse teste nos diz que o raio $ R $ pode ser encontrado pela fórmula:
Onde $ a_n $ é o $ n $-ésimo termo da série.
Passo 4
Vamos identificar $ a_n $ na nossa série:
Agora, precisamos achar $ a_{n+1} $:
Passo 5
Agora, vamos calcular a razão $ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, aplicamos o limite conforme $ n $ tende ao infinito:
Isso porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador.
Passo 7
Segundo o Teste da Razão, se $ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 0 $, isso significa que a série converge para todos os valores de $ x $. Então, o raio de convergência $ R $ é infinito.
Resposta
O raio de convergência da série é $ R = \infty $ e o intervalo de convergência é $ (-\infty, \infty) $.