(1-x cot x) y^prime prime-x y^prime+y=0, 0
28. Considere a equação y^prime prime-y^prime-2 y=0.
(a) Mostre que y1(t)=e^-1 e y2(t)=e^2 t formam um conjunto fundamental de soluções.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções y1(t)=e^-t e y2(t)=e^2t são soluções da equação y''-y'-2y=0 e que elas formam um conjunto fundamental de soluções (isto é, são linearmente independentes).

Passo 2

Primeiro verificamos que cada função satisfaz a equação:
Para y1(t)=e^-t:
y1'(t)=-e^-t,
y1''(t)=e^-t
Substituindo em y''-y'-2y=0:
e^-t-(-e^-t)-2e^-t=e^-t+e^-t-2e^-t=0,
logo y1 é solução.
Para y2(t)=e^2t:
y2'(t)=2e^2t,
y2''(t)=4e^2t
Substituindo:
4e^2t-2e^2t-2e^2t=0,
logo y2 também é solução.

Passo 3

Agora precisamos mostrar que y1 e y2 são linearmente independentes, calculando o Wronskiano:
W(t)=y1&y2y1'&y2' =e^-tcdot(2e^2t)-(-e^-t)cdot e^2t=2e^t+e^t=3e^t
Como W(t)=3e^tneq0 para todo t, concluímos que elas são linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental de soluções da equação dada.

Resposta

As funções y1(t)=e^-t e y2(t)=e^2t satisfazem a equação e têm Wronskiano W(t)=3e^tneq0, logo formam um conjunto fundamental de soluções para y''-y'-2y=0.

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