28. Considere a equação .
(a) Mostre que e formam um conjunto fundamental de soluções.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções e são soluções da equação e que elas formam um conjunto fundamental de soluções (isto é, são linearmente independentes).
Passo 2
Primeiro verificamos que cada função satisfaz a equação:
Para :
Substituindo em :
logo é solução.
Para :
Substituindo:
logo também é solução.
Passo 3
Agora precisamos mostrar que e são linearmente independentes, calculando o Wronskiano:
Como W(t)=3e^tneq0 para todo t, concluímos que elas são linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental de soluções da equação dada.
Resposta
As funções y1(t)=e^-t e y2(t)=e^2t satisfazem a equação e têm Wronskiano W(t)=3e^tneq0, logo formam um conjunto fundamental de soluções para y''-y'-2y=0.