Encontre as primitivas das funções abaixo:
integral x^3 cos x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva da função f(x)=x^3cos(x^2). Vamos usar as técnicas de substituição e, depois, integração por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição u=x^2. Então du=2x,dx, ou seja, x,dx=tfrac12,du. Note que x^3,dx = x^2,(x,dx) = u,tfrac12,du.
Substituindo na integral original, obtém-se:
integral x^3cos(x^2),dx = 12integral ucos u,du

Passo 3

Para calcular integral ucos u,du, aplicamos integração por partes. Seja:
A = u \quad e \quad dB = \cos u,du
Rightarrow dA = du, B = integralcos u,du = sin u
Pela fórmula integral A,dB = A B - integral B,dA, temos:
integral ucos u,du = usin u - integral sin u,du = usin u + cos u + C

Passo 4

Voltando à variável x e incluindo o fator tfrac12, a primitiva fica:
12l(usin u + cos ur) + C = 12 x^2sin(x^2) + 12cos(x^2) + C

Resposta

12 x^2sin(x^2) + 12cos(x^2) + C

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