Determinar as raízes das Equações abaixo, com
.
Passo 1
Enunciado e dados: resolver a equação
com precisão
.
O que se pede: encontrar todas as raízes reais de
(se existirem) e fornecer a(s) raiz(es) com erro absoluto menor ou igual a
.
Informações úteis dadas pelo enunciado: a função é dada explicitamente, depende de
e de
; o valor de
é
. Não há figura nem outro dado extra.
Passo 2
Identificar existência de raiz(s) e achar um intervalo que contenha uma raiz (bracketing).
Primeiro note que
é soma de funções contínuas (
e
), logo
é contínua em
. Pelo Teorema do Valor Intermediário, se encontrarmos
tais que
e
tenham sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz em
.
Calculemos alguns valores (a conta numérica detalhada abaixo é aproximada, com precisão suficiente para encontrar um intervalo inicial):
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Aqui vemos
e
, sinais opostos, logo existe pelo menos uma raiz em
. Vamos concentrar a busca nessa janela.
Também observação rápida: para
muito negativo
domina e
, e para
muito positivo
domina e
. A combinação de uma função cúbica monótona dominante e uma pequena oscilação de
faz crer que existe exatamente uma raiz real; a partir das amostras numéricas acima só encontramos a mudança de sinal em
, então vamos localizar essa raiz única nessa faixa.
Passo 3
Escolha do método e fórmulas usadas.
Métodos possíveis: bisseção (método básico, garantido) e Newton-Raphson (mais rápido, exige derivada). Vou usar uma combinação: primeiro bisseção para reduzir o intervalo de forma segura e depois Newton para acelerar até a precisão desejada. Isso é prático em prova: bisseção garante bracketing e Newton converte rápido.
Fórmulas:
- Bisseção: se
e , tomar . Substituir o intervalo por ou conforme o sinal de . Repetir até pequeno. - Newton-Raphson: iterações
Aqui a derivada é
Explicação das variáveis:
é a aproximação atual,
o valor da função,
a derivada no ponto; a diferença
é o ajuste de Newton.
Passo 4
Aplicação prática: bisseção para estreitar o intervalo inicial
.
Iterações de bisseção (cada ponto com avaliação aproximada de
):
-
. . Calcule :
Como
e
, nova faixa é
.
-
. .
Sinais:
. Nova faixa
.
-
. .
Sinais:
. Nova faixa
.
-
. .
Sinais:
. Nova faixa
.
-
. .
Sinais:
. Nova faixa
.
-
. .
Agora
. Então a raiz está em
.
Após estas iterações o comprimento do intervalo é
ou seja, já reduzimos bastante. Neste ponto podemos passar ao Newton para acelerar a convergência, partindo da média ou de um bom ponto inicial (por exemplo
, que está no interior do intervalo).
Passo 5
Preparar e aplicar Newton-Raphson com ponto inicial
.
Primeiro, calcule
e
em
.
Cálculo de
(valores aproximados com algumas casas decimais):
(ou seja,
.)
Derivada:
Calculemos em
:
Logo
Aplicando Newton:
Passo 6
Refinar (segunda iteração de Newton) e verificar tolerância.
Estimamos
por desenvolvimento linear:
Substituindo valores:
Portanto
já é muito pequeno (ordem
). A correção da segunda iteração de Newton será
Assim
A última correção tem magnitude
. Portanto a aproximação
satisfaz a precisão exigida
. Além disso o residuo
será da ordem
(por convergência quadrática do método de Newton), muito menor que
.
Passo 7
Interpretação final e garantia.
Concluímos que existe uma única raiz real de
no intervalo considerado e encontramos, por bisseção seguida de Newton, a aproximação
com erro absoluto menor que
(ver estimativa da última correção).
Como verificação rápida: os valores de
nas bordas do processo mostraram mudança de sinal apenas naquele intervalo, e Newton convergiu rapidamente a essa única raiz.