Determinar as raízes das Equações abaixo, com epsilon \leq 10^{-5}.
f(x)=0,2 x^{3}-3,006 x^{2}+15,06 x-25,15=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar as raízes da equação
f(x)=0,\!2x^{3}-3,\!006x^{2}+15,\!06x-25,\!15=0
com erro menor ou igual a \epsilon \le 10^{-5}.
Informações dadas (resumindo):
\text{polinômio: }f(x)=0,\!2x^{3}-3,\!006x^{2}+15,\!06x-25,\!15.ô
Pergunta: encontrar todos os valores de x que anulam f(x) (todas as raízes, considerando multiplicidade), com precisão \leq 10^{-5}.

Passo 2

Estratégia inicial e motivo: como f é um polinômio de grau 3, podemos tentar fatorá-lo. Uma técnica simples é eliminar o coeficiente decimal do termo cúbico multiplicando a equação por uma constante que torne os coeficientes inteiros (ou pelo menos mais simples), e em seguida procurar raízes racionais simples (por tentativa) usando o fato de que, se existir uma raiz racional simples, geralmente é um divisor razoável do termo constante escalonado.
Multiplico a equação por 5 (pois 0,\!2\cdot5=1) para facilitar contas:
5f(x)=x^{3}-15,\!03x^{2}+75,\!3x-125,\!75=0.
Observação: as raízes de 5f(x) são as mesmas de f(x) (o fator 5 não altera as raízes).

Passo 3

Procurando uma raiz simples por tentativa: testar valores inteiros próximos. Testo x=5:
calculo 5f(5) usando x^{3}-15,\!03x^{2}+75,\!3x-125,\!75.
Primeiro calcule os termos separadamente:
5^{3}=125,
-15,\!03\cdot5^{2}=-15,\!03\cdot25=-375,\!75,
75,\!3\cdot5=376,\!5,
-125,\!75\text{ (constante)}.
Somando:
125-375,\!75+376,\!5-125,\!75=0.
Portanto 5f(5)=0, logo x=5 é uma raiz de f.
Isso é uma ótima notícia: conseguimos uma raiz exata por tentativa!

Passo 4

Com uma raiz conhecida x=5, fatora-se o polinômio dividindo-o por (x-5). Faço divisão sintética (aplicável porque já tenho a raiz):
Coeficientes de x^{3}-15,\!03x^{2}+75,\!3x-125,\!75: 1,\;-15,\!03,\;75,\!3,\;-125,\!75.
Aplicando divisão sintética por 5:
  • Trago 1.
  • Multiplico 1\cdot5=5. Somo com -15,\!03: -15,\!03+5=-10,\!03.
  • Multiplico -10,\!03\cdot5=-50,\!15. Somo com 75,\!3: 75,\!3-50,\!15=25,\!15.
  • Multiplico 25,\!15\cdot5=125,\!75. Somo com -125,\!75: 0.
Resto 0 como esperado. Logo a divisão produz o polinômio quadrático
x^{2}-10,\!03x+25,\!15.
Portanto
x^{3}-15,\!03x^{2}+75,\!3x-125,\!75=(x-5)\bigl(x^{2}-10,\!03x+25,\!15\bigr).
Voltando à escala original (multiplicando por 1/5 não altera raízes), temos
f(x)=0,\!2\bigl(x-5\bigr)\bigl(x^{2}-10,\!03x+25,\!15\bigr).

Passo 5

Agora resolvo a equação quadrática
x^{2}-10,\!03x+25,\!15=0.
Para isso uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde para a equação ax^{2}+bx+c=0 os símbolos significam:
  • a é o coeficiente de x^{2},
  • b é o coeficiente de x,
  • c é o termo constante,
  • o discriminante é \Delta=b^{2}-4ac; se \Delta\ge 0 as raízes são reais e dadas pela fórmula acima; se \Delta<0 seriam complexas.
Aqui a=1, b=-10,\!03, c=25,\!15. Atenção ao sinal: na fórmula uso b tal como aparece no polinômio.
Calculo do discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-10,\!03)^{2}-4\cdot1\cdot25,\!15.
Calculo passo a passo:
(-10,\!03)^{2}=100,\!6009,
4\cdot25,\!15=100,\!6.
Logo
\Delta=100,\!6009-100,\!6=0,\!0009.

Passo 6

Continuando: \Delta=0,\!0009. Então \sqrt{\Delta}=\sqrt{0,\!0009}=0,\!03.
Aplicando Bhaskara:
x=\frac{10,\!03\pm0,\!03}{2}.
Calculando as duas opções:
  • x_{1}=\dfrac{10,\!03+0,\!03}{2}=\dfrac{10,\!06}{2}=5,\!03.
  • x_{2}=\dfrac{10,\!03-0,\!03}{2}=\dfrac{10,\!00}{2}=5,\!00.
Portanto as raízes da quadrática são x=5,\!03 e x=5,\!00.

Passo 7

Juntando tudo: já tínhamos a raiz x=5 da etapa anterior (vinda do fator (x-5)). A quadrática forneceu x=5,\!00 e x=5,\!03. O valor x=5,\!00 coincide com a raiz já encontrada, o que significa que x=5 é raiz de multiplicidade 2 (dupla). A outra raiz é x=5,\!03 (simples).
Verificação rápida (controle): se expandirmos (x-5)^{2}(x-5,\!03) vezes 0,\!2 devemos recuperar f(x) — os cálculos anteriores foram consistentes e a discriminação deu número exato, então as raízes são exatas com as casas decimais apresentadas.
Precisão requerida: pediram \epsilon\le 10^{-5}. As raízes que encontramos têm representação decimal finita com duas casas, portanto são exatas até muito além de 10^{-5}. Para cumprir a formatação pedida, apresento cada raiz com cinco casas decimais.

Resposta

x=5,00000 (multiplicidade 2)
x=5,03000

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