Determinar as raízes das Equações abaixo, com
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as raízes da equação
com erro menor ou igual a
.
Informações dadas (resumindo):
Pergunta: encontrar todos os valores de
que anulam
(todas as raízes, considerando multiplicidade), com precisão
.
Passo 2
Estratégia inicial e motivo: como
é um polinômio de grau 3, podemos tentar fatorá-lo. Uma técnica simples é eliminar o coeficiente decimal do termo cúbico multiplicando a equação por uma constante que torne os coeficientes inteiros (ou pelo menos mais simples), e em seguida procurar raízes racionais simples (por tentativa) usando o fato de que, se existir uma raiz racional simples, geralmente é um divisor razoável do termo constante escalonado.
Multiplico a equação por
(pois
) para facilitar contas:
Observação: as raízes de
são as mesmas de
(o fator
não altera as raízes).
Passo 3
Procurando uma raiz simples por tentativa: testar valores inteiros próximos. Testo
:
calculo usando
.
calculo
Primeiro calcule os termos separadamente:
Somando:
Portanto
, logo
é uma raiz de
.
Isso é uma ótima notícia: conseguimos uma raiz exata por tentativa!
Passo 4
Com uma raiz conhecida
, fatora-se o polinômio dividindo-o por
. Faço divisão sintética (aplicável porque já tenho a raiz):
Coeficientes de
:
.
Aplicando divisão sintética por
:
- Trago
. - Multiplico
. Somo com : . - Multiplico
. Somo com : . - Multiplico
. Somo com : .
Resto
como esperado. Logo a divisão produz o polinômio quadrático
Portanto
Voltando à escala original (multiplicando por
não altera raízes), temos
Passo 5
Agora resolvo a equação quadrática
Para isso uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
onde para a equação
os símbolos significam:
-
é o coeficiente de , -
é o coeficiente de , -
é o termo constante, - o discriminante é
; se as raízes são reais e dadas pela fórmula acima; se seriam complexas.
Aqui
,
,
. Atenção ao sinal: na fórmula uso
tal como aparece no polinômio.
Calculo do discriminante:
Calculo passo a passo:
Logo
Passo 6
Continuando:
. Então
.
Aplicando Bhaskara:
Calculando as duas opções:
Portanto as raízes da quadrática são
e
.
Passo 7
Juntando tudo: já tínhamos a raiz
da etapa anterior (vinda do fator
). A quadrática forneceu
e
. O valor
coincide com a raiz já encontrada, o que significa que
é raiz de multiplicidade
(dupla). A outra raiz é
(simples).
Verificação rápida (controle): se expandirmos
vezes
devemos recuperar
— os cálculos anteriores foram consistentes e a discriminação deu número exato, então as raízes são exatas com as casas decimais apresentadas.
Precisão requerida: pediram
. As raízes que encontramos têm representação decimal finita com duas casas, portanto são exatas até muito além de
. Para cumprir a formatação pedida, apresento cada raiz com cinco casas decimais.