Determinar as raízes das Equações abaixo, com
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as raízes da equação
com precisão
.
Informações dadas (ou fáceis de obter direto do enunciado):
Temos que determinar os valores de
tais que
, e apresentar as raízes com erro absoluto menor ou igual a
.
Não há outras restrições explícitas.
Não há outras restrições explícitas.
Passo 2
Escolha do método (sem enrolação): vamos combinar dois métodos clássicos e didáticos:
- Primeiro usamos o método da bissecção para localizar intervalos que contenham raízes reais (é robusto e não exige derivada). Vou usar o critério de mudança de sinal para encontrar intervalos iniciais.
- Em seguida, para acelerar a convergência e obter a precisão exigida, farei uma ou duas iterações do método de Newton (ou da secante) para refinar cada raiz até
.
Explico os dois métodos na prática nos passos seguintes — assim você aprende a aplicá-los na prova.
Passo 3
Breve aula sobre os métodos (o “como” e o “porquê”):
- Bissecção: se
é contínua em e e têm sinais opostos, por Bolzano existe uma raiz em . A cada iteração escolhemos o ponto médio . Se tem mesmo sinal que , substituímos ; caso contrário . O comprimento do intervalo cai pela metade a cada passo. Critério de parada: garante que o erro absoluto no ponto médio é menor que . - Newton-Raphson: dado um palpite
, a iteração é
onde
. Newton converge muito rápido quando o palpite inicial está suficientemente próximo da raiz. É preciso cuidado se
for perto de zero; por isso combinamos com bissecção (para garantir palpite seguro).
Vou aplicar bissecção até termos intervalos pequenos e depois Newton (ou secante) para refinar rapidamente.
Vou aplicar bissecção até termos intervalos pequenos e depois Newton (ou secante) para refinar rapidamente.
Passo 4
Procuro intervalos com mudança de sinal (avaliando
em pontos simples):
logo há ao menos uma raiz em
(pois
e
).
Além disso,
Além disso,
logo há uma raiz em
. Conclusão: existem duas raízes reais, uma em
e outra em
. Vou tratar cada uma separadamente.
Passo 5
Localização e bissecção para a raiz em
— desenvolvimento passo a passo (mostro iterações suficientes para ficar confortável e então faço refinamento):
Inicial: ,
.
Inicial:
-
, → troca → novo intervalo . -
, → . -
, → . -
, → . -
, → . -
, → . -
, → . -
, → . -
, → . -
, → .
Após 10 bissecções temos o intervalo
com comprimento
. O ponto médio
já dá um valor de
próximo de zero (positivo e pequeno). A bissecção ainda reduziria o intervalo rapidamente, mas é eficiente agora alternar para uma iteração de secante/Newton para acelerar a convergência.
Passo 6
Refinamento da raiz em
usando a secante (ou Newton) a partir dos últimos dois pontos da bissecção (técnica prática que se usa na prova):
Tomamos os dois últimos pontos com seus :
Tomamos os dois últimos pontos com seus
Secante: novo ponto
Substituindo numericamente (os valores acima), obtemos aproximadamente
avaliando
obtemos
. Usando agora os dois pontos
(com
negativo) e
(com
positivo) aplicamos novamente a secante e obtemos
A diferença entre
e as iterações anteriores já é da ordem de
ou menor, e os valores de
ficam na ordem de
ou menor (ou seja, muito pequenos). Para garantir a condição
testamos a distância entre iterações e observamos que
. Portanto podemos aceitar
Arredondando a cinco casas decimais (erro absoluto
) obtemos
.
Passo 7
Localização e bissecção para a raiz em
— depois Newton rápido:
Já vimos e
. Vamos estreitar:
Já vimos
-
, → raiz em . -
, , → raiz em . -
, , → raiz em . -
, , → raiz em . -
, avalia-se e encontra-se positivo pequeno ou negativo; depois de algumas divisões chegamos ao intervalo com (positivo pequeno) e (negativo). Em particular e , então toda bissecção reduz o intervalo rapidamente. Já com temos muito próximo de zero.
Passo 8
Refinamento da raiz em
usando Newton (cálculo explícito, didático):
Escolho (já perto da raiz). Calculamos:
Escolho
Avalio em
:
Aplicando Newton:
Avaliação do erro: a correção foi
. Podemos aplicar mais uma iteração se quisermos, mas já temos
. Estimando
por linearização vimos que
fica na ordem de
(muito menor que
), então
já satisfaz o critério
. Arredondando a cinco casas decimais temos
.
Passo 9
Resumo de verificação (rápida):
- Na raiz negativa obtivemos sequência via bissecção + secante/Newton com convergência até aproximadamente
. Arredondando a cinco casas decimais dá , erro absoluto (ok). - Na raiz positiva o Newton desde
levou a . Arredondando a cinco casas decimais dá , erro absoluto (ok).