Determinar as raízes das Equações abaixo, com epsilon \leq 10^{-5}.
f(x)=10^{x}+x^{3}+2=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as raízes da equação
f(x)=10^{x}+x^{3}+2=0
com precisão \varepsilon \le 10^{-5}. Informação dada: a função f é exatamente a soma de 10^{x}, x^{3} e 2. A tarefa é determinar todos os x reais que anulam f, e fornecer uma aproximação da(s) raiz(es) com erro menor ou igual a 10^{-5}.

Passo 2

Antes de sair caçando números, vamos ver quantas raízes podem existir — isto evita perder tempo procurando várias raízes se houver apenas uma. Para isso calculamos a derivada:
f'(x)=\ln(10)\,10^{x}+3x^{2}.
Note que \ln(10)>0, 10^{x}>0 para todo x e 3x^{2}\ge 0 para todo x. Portanto
f'(x)>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Conclusão: f é estritamente crescente em todo \mathbb{R}. Logo f pode ter no máximo uma raiz real. Isso já nos dá que, se encontrarmos uma raiz, ela é única.

Passo 3

Agora precisamos achar um intervalo [a,b] com f(a) e f(b) de sinais opostos (teorema do valor intermediário), para garantir existência da raiz. Testes simples:
f(-2)=10^{-2}+(-2)^{3}+2=0{,}01-8+2=-5{,}99<0,
f(-1)=10^{-1}+(-1)^{3}+2=0{,}1-1+2=1{,}1>0.
Como f(-2)<0 e f(-1)>0 e f é contínua, existe uma raiz única em [-2,-1]. Método escolhido: bisseção, por ser simples, robusto e suficiente para garantir a precisão requerida sem depender de derivadas numéricas instáveis. Lembrete do método de bisseção: em cada iteração tomamos o ponto médio m=(a+b)/2 e substituímos o intervalo por [a,m] ou [m,b] conforme o sinal de f(m). O erro máximo após n iterações vale
|x_{\text{aprox}}-x^*|\le \frac{b-a}{2^{n+1}},
onde b-a é o comprimento inicial do intervalo. Aqui b-a=1. Para garantir erro absoluto em x menor que \varepsilon=10^{-5} basta ter
\frac{1}{2^{n+1}}\le 10^{-5}\quad\Longrightarrow\quad n+1\ge \log_{2}(10^{5})\approx 16{,}6,
portanto n=16 iterações de bisseção são suficientes (na prática usamos n=16 ou mais). Outra forma: garantir comprimento do intervalo final \le 2\varepsilon garante que o ponto médio está a no máximo \varepsilon da raiz.

Passo 4

Vamos executar a bisseção a partir do intervalo inicial [a_0,b_0]=[-2,-1]. Em cada iteração calculo m_k=(a_{k-1}+b_{k-1})/2 e avalio f(m_k). Mostro os cálculos essenciais (aproximações numéricas suficientes para decidir o sinal).
Iteração 1:
m_1=-1{,}5,\qquad f(-1{,}5)=10^{-1{,}5}+(-1{,}5)^3+2\approx 0{,}03162278-3{,}375+2=-1{,}34337722<0.
Sinal negativo → nova faixa [-1{,}5,-1].

Passo 5

Iteração 2:
m_2=-1{,}25,\qquad f(-1{,}25)=10^{-1{,}25}+(-1{,}25)^3+2\approx 0{,}05623413-1{,}953125+2=0{,}10310913>0.
Sinal positivo → nova faixa [-1{,}5,-1{,}25].
Iteração 3:
m_3=-1{,}375,\qquad f(-1{,}375)\approx 0{,}04216965-2{,}599609375+2=-0{,}557439725<0.
Faixa [-1{,}375,-1{,}25].
Iteração 4:
m_4=-1{,}3125,\qquad f(-1{,}3125)\approx 0{,}0486900-2{,}260986328125+2=-0{,}212296328125<0.
Faixa [-1{,}3125,-1{,}25].

Passo 6

Iteração 5:
m_5=-1{,}28125,\qquad f(-1{,}28125)\approx 0{,}052360-2{,}1026763916015625+2=-0{,}0503163916015625<0.
Faixa [-1{,}28125,-1{,}25].
Iteração 6:
m_6=-1{,}265625,\qquad f(-1{,}265625)\approx 0{,}05424-2{,}027284655\,+2=0{,}026955345>0.
Faixa [-1{,}28125,-1{,}265625].
Iteração 7:
m_7=-1{,}2734375,\qquad f(-1{,}2734375)\approx -0{,}011662234<0.
Faixa [-1{,}2734375,-1{,}265625].

Passo 7

Iteração 8:
m_8=-1{,}26953125,\qquad f(-1{,}26953125)\approx 0{,}015217505>0.
Faixa [-1{,}2734375,-1{,}26953125].
Iteração 9:
m_9=-1{,}271484375,\qquad f(-1{,}271484375)\approx 0{,}001783\;(\text{positivo e pequeno}).
Faixa [-1{,}2734375,-1{,}271484375].

Passo 8

Iteração 10:
m_{10}=-1{,}2724609375,\qquad f(m_{10})\approx -0{,}00494<0.
Faixa [-1{,}2724609375,-1{,}271484375].
Iteração 11:
m_{11}=-1{,}27197265625,\qquad f(m_{11})\approx -0{,}0015785<0.
Faixa [-1{,}27197265625,-1{,}271484375].

Passo 9

Iteração 12:
m_{12}=-1{,}271728515625,\qquad f(m_{12})\approx 0{,}00010225>0.
Faixa [-1{,}27197265625,-1{,}271728515625].
Iteração 13:
m_{13}=-1{,}2718505859375,\qquad f(m_{13})\approx -0{,}000738125<0.
Faixa [-1{,}2718505859375,-1{,}271728515625].

Passo 10

Iteração 14:
m_{14}=-1{,}27178955078125,\qquad f(m_{14})\approx -0{,}0003179375<0.
Faixa [-1{,}27178955078125,-1{,}271728515625].
Iteração 15:
m_{15}=-1{,}271759033203125,\qquad f(m_{15})\approx -0{,}00010784375<0.
Faixa [-1{,}271759033203125,-1{,}271728515625].

Passo 11

Iteração 16:
m_{16}=-1{,}2717437744140625,\qquad f(m_{16})\approx -0{,}000002796875<0.
Após 16 iterações o comprimento do intervalo atual é
b_{16}-a_{16}= \frac{1}{2^{16}}=1{,}52587890625\times 10^{-5}<2\times 10^{-5}.
Assim o erro máximo no ponto médio final é
\frac{b_{16}-a_{16}}{2}=\frac{1}{2^{17}}\approx 7{,}62939453125\times 10^{-6}<10^{-5},
logo a aproximação obtida pela bisseção atende a \varepsilon\le 10^{-5}.

Passo 12

Tomamos como aproximação final o ponto médio do último intervalo [a_{16},b_{16}]=[-1{,}2717437744140625,\,-1{,}271728515625]:
x_{\text{aprox}}=\frac{-1{,}2717437744140625 + (-1{,}271728515625)}{2} = -1{,}27173614501953125.
Esta aproximação tem erro em x menor que 10^{-5} conforme verificado acima. (Recorde: a função é estritamente crescente, portanto esta raiz é única.)

Resposta

-1,27173614501953125

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