Determinar as raízes das Equações abaixo, com
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as raízes da equação
com precisão
. Informação dada: a função
é exatamente a soma de
,
e
. A tarefa é determinar todos os
reais que anulam
, e fornecer uma aproximação da(s) raiz(es) com erro menor ou igual a
.
Passo 2
Antes de sair caçando números, vamos ver quantas raízes podem existir — isto evita perder tempo procurando várias raízes se houver apenas uma. Para isso calculamos a derivada:
Note que
,
para todo
e
para todo
. Portanto
Conclusão:
é estritamente crescente em todo
. Logo
pode ter no máximo uma raiz real. Isso já nos dá que, se encontrarmos uma raiz, ela é única.
Passo 3
Agora precisamos achar um intervalo
com
e
de sinais opostos (teorema do valor intermediário), para garantir existência da raiz. Testes simples:
Como
e
e
é contínua, existe uma raiz única em
. Método escolhido: bisseção, por ser simples, robusto e suficiente para garantir a precisão requerida sem depender de derivadas numéricas instáveis. Lembrete do método de bisseção: em cada iteração tomamos o ponto médio
e substituímos o intervalo por
ou
conforme o sinal de
. O erro máximo após
iterações vale
onde
é o comprimento inicial do intervalo. Aqui
. Para garantir erro absoluto em
menor que
basta ter
portanto
iterações de bisseção são suficientes (na prática usamos
ou mais). Outra forma: garantir comprimento do intervalo final
garante que o ponto médio está a no máximo
da raiz.
Passo 4
Vamos executar a bisseção a partir do intervalo inicial
. Em cada iteração calculo
e avalio
. Mostro os cálculos essenciais (aproximações numéricas suficientes para decidir o sinal).
Iteração 1:
Sinal negativo → nova faixa
.
Passo 5
Iteração 2:
Sinal positivo → nova faixa
.
Iteração 3:
Faixa
.
Iteração 4:
Faixa
.
Passo 6
Iteração 5:
Faixa
.
Iteração 6:
Faixa
.
Iteração 7:
Faixa
.
Passo 7
Iteração 8:
Faixa
.
Iteração 9:
Faixa
.
Passo 8
Iteração 10:
Faixa
.
Iteração 11:
Faixa
.
Passo 9
Iteração 12:
Faixa
.
Iteração 13:
Faixa
.
Passo 10
Iteração 14:
Faixa
.
Iteração 15:
Faixa
.
Passo 11
Iteração 16:
Após 16 iterações o comprimento do intervalo atual é
Assim o erro máximo no ponto médio final é
logo a aproximação obtida pela bisseção atende a
.
Passo 12
Tomamos como aproximação final o ponto médio do último intervalo
:
Esta aproximação tem erro em
menor que
conforme verificado acima. (Recorde: a função é estritamente crescente, portanto esta raiz é única.)