Determinar as raízes inteiras dos seguintes polinômios:
p(x)=3 x^{3}-2 x^{2}-6.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as raízes inteiras do polinômio p(x)=3x^{3}-2x^{2}-6.
Informações dadas:
  • O polinômio é p(x)=3x^{3}-2x^{2}-6.
  • A pergunta específica é: quais são as raízes inteiras de p(x)? Ou seja, quais inteiros k satisfazem p(k)=0.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática do método): vamos usar o Teorema das Raízes Racionais (também chamado de Teorema de Gauss) para obter uma lista finita de candidatos racionais que podem ser raízes de um polinômio com coeficientes inteiros. O enunciado pede só as raízes inteiras, então desse conjunto de candidatos vamos testar apenas os inteiros.
O Teorema das Raízes Racionais diz: se \frac{p}{q} (em forma irredutível) é uma raiz racional de um polinômio com coeficientes inteiros cujo coeficiente líder é a_n e termo constante é a_0, então p divide a_0 e q divide a_n.
Aqui a_n=3 e a_0=-6. Isso produz uma lista finita de candidatos racionais.
Explicando em palavras simples: as possíveis raízes racionais são todos os \pm\frac{d}{e} onde d é divisor de -6 e e é divisor de 3. As raízes inteiras são exatamente os casos em que e=1, ou seja, divisores inteiros de -6.

Passo 3

Aplicando o teorema para listar candidatos racionais:
  • Divisores de a_0=-6: \pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6.
  • Divisores de a_n=3: \pm 1,\pm 3.
Portanto os candidatos racionais são todos os \pm\frac{d}{e} com d\in\{1,2,3,6\} e e\in\{1,3\}. Enumerando (em forma simplificada) temos:
\pm 1,\\ \pm 2,\\ \pm 3,\\ \pm 6,\\ \pm\frac{1}{3},\\ \pm\frac{2}{3}.

Passo 4

Como a pergunta é sobre raízes inteiras, restringimos a lista anterior aos candidatos inteiros, ou seja:
\pm 1,\\ \pm 2,\\ \pm 3,\\ \pm 6.
Agora vamos testar cada um desses valores calculando p(x) e vendo se dá zero.

Passo 5

Testando x=1. Calculemos passo a passo:
p(1)=3\cdot 1^{3}-2\cdot 1^{2}-6.
Primeiro 1^{3}=1 e 1^{2}=1, então
p(1)=3\cdot 1 -2\cdot 1 -6 = 3-2-6.
Agora a soma/subtração:
3-2-6 = 1-6 = -5.
Portanto p(1)=-5\neq 0. Logo x=1 não é raiz.

Passo 6

Testando x=-1. Calculemos:
p(-1)=3\cdot(-1)^{3}-2\cdot(-1)^{2}-6.
Temos (-1)^{3}=-1 e (-1)^{2}=1, então
p(-1)=3\cdot(-1)-2\cdot 1 -6 = -3 -2 -6.
Somando:
-3-2-6 = -5 -6 = -11.
Portanto p(-1)=-11\neq 0. Logo x=-1 não é raiz.

Passo 7

Testando x=2. Calculemos:
p(2)=3\cdot 2^{3}-2\cdot 2^{2}-6.
Temos 2^{3}=8 e 2^{2}=4, então
p(2)=3\cdot 8 -2\cdot 4 -6 = 24 -8 -6.
Somando/subtraindo:
24-8-6 = 16-6 = 10.
Portanto p(2)=10\neq 0. Logo x=2 não é raiz.

Passo 8

Testando x=-2. Calculemos:
p(-2)=3\cdot(-2)^{3}-2\cdot(-2)^{2}-6.
Temos (-2)^{3}=-8 e (-2)^{2}=4, então
p(-2)=3\cdot(-8)-2\cdot 4 -6 = -24 -8 -6.
Somando:
-24-8-6 = -32-6 = -38.
Portanto p(-2)=-38\neq 0. Logo x=-2 não é raiz.

Passo 9

Testando x=3. Calculemos:
p(3)=3\cdot 3^{3}-2\cdot 3^{2}-6.
Temos 3^{3}=27 e 3^{2}=9, então
p(3)=3\cdot 27 -2\cdot 9 -6 = 81 -18 -6.
Somando:
81-18-6 = 63-6 = 57.
Portanto p(3)=57\neq 0. Logo x=3 não é raiz.

Passo 10

Testando x=-3. Calculemos:
p(-3)=3\cdot(-3)^{3}-2\cdot(-3)^{2}-6.
Temos (-3)^{3}=-27 e (-3)^{2}=9, então
p(-3)=3\cdot(-27)-2\cdot 9 -6 = -81 -18 -6.
Somando:
-81-18-6 = -99-6 = -105.
Portanto p(-3)=-105\neq 0. Logo x=-3 não é raiz.

Passo 11

Nenhum dos candidatos inteiros \pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6 fez p(x)=0. Assim, o polinômio p(x)=3x^{3}-2x^{2}-6 não tem raízes inteiras.
Se você quiser, podemos em seguida testar os candidatos racionais \pm\frac{1}{3},\pm\frac{2}{3} para ver se há raízes racionais não inteiras, ou então fatorar o polinômio sobre os reais/complexos — me diga se quer que eu faça isso.

Resposta

Não há raízes inteiras.

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