Determinar as raízes inteiras dos seguintes polinômios:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as raízes inteiras do polinômio
.
Informações dadas:
- O polinômio é
. - A pergunta específica é: quais são as raízes inteiras de
? Ou seja, quais inteiros satisfazem .
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática do método): vamos usar o Teorema das Raízes Racionais (também chamado de Teorema de Gauss) para obter uma lista finita de candidatos racionais que podem ser raízes de um polinômio com coeficientes inteiros. O enunciado pede só as raízes inteiras, então desse conjunto de candidatos vamos testar apenas os inteiros.
O Teorema das Raízes Racionais diz: se
(em forma irredutível) é uma raiz racional de um polinômio com coeficientes inteiros cujo coeficiente líder é
e termo constante é
, então
divide
e
divide
.
Aqui e
. Isso produz uma lista finita de candidatos racionais.
Aqui
Explicando em palavras simples: as possíveis raízes racionais são todos os
onde
é divisor de
e
é divisor de
. As raízes inteiras são exatamente os casos em que
, ou seja, divisores inteiros de
.
Passo 3
Aplicando o teorema para listar candidatos racionais:
- Divisores de
: . - Divisores de
: .
Portanto os candidatos racionais são todos os
com
e
. Enumerando (em forma simplificada) temos:
Passo 4
Como a pergunta é sobre raízes inteiras, restringimos a lista anterior aos candidatos inteiros, ou seja:
Agora vamos testar cada um desses valores calculando
e vendo se dá zero.
Passo 5
Testando
. Calculemos passo a passo:
Primeiro
e
, então
Agora a soma/subtração:
Portanto
. Logo
não é raiz.
Passo 6
Testando
. Calculemos:
Temos
e
, então
Somando:
Portanto
. Logo
não é raiz.
Passo 7
Testando
. Calculemos:
Temos
e
, então
Somando/subtraindo:
Portanto
. Logo
não é raiz.
Passo 8
Testando
. Calculemos:
Temos
e
, então
Somando:
Portanto
. Logo
não é raiz.
Passo 9
Testando
. Calculemos:
Temos
e
, então
Somando:
Portanto
. Logo
não é raiz.
Passo 10
Testando
. Calculemos:
Temos
e
, então
Somando:
Portanto
. Logo
não é raiz.
Passo 11
Nenhum dos candidatos inteiros
fez
. Assim, o polinômio
não tem raízes inteiras.
Se você quiser, podemos em seguida testar os candidatos racionais
para ver se há raízes racionais não inteiras, ou então fatorar o polinômio sobre os reais/complexos — me diga se quer que eu faça isso.
Resposta
Não há raízes inteiras.