Exercício 10 Mostre que, para todo k \in \mathbb{Z},
i^{i}=e^{-\frac{(4 k+1) \pi}{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo k \in \mathbb{Z},
i^{i}=e^{-\frac{(4 k+1) \pi}{2}}.
Informações dadas (explícitas ou implícitas) que vou usar: i é a unidade imaginária com i^{2}=-1; em números complexos podemos escrever um número em forma polar/exponencial e a função logarítmica complexa é multivalorada (tem várias folhas, indexadas por um inteiro k). Não vou resolver nada ainda, só deixei claro o que se pede e o que posso usar.

Passo 2

Vamos lembrar como escrever i na forma exponencial (Euler). Qualquer número complexo z\neq 0 pode ser escrito como
z = r e^{i\theta},
onde r=|z|>0 é o módulo e \theta é um argumento de z. Para i temos r=1 e um argumento básico \theta=\frac{\pi}{2}, mas como argumentos são definidos até adição de múltiplos inteiros de 2\pi, os argumentos de i são
\theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto, tirado esse fato da “caixinha de ferramentas”,
i = e^{i\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)}\qquad\text{para todo }k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Agora explico a definição que vou usar para potência complexa: para a\neq 0 e b complexos, define-se
a^{b} := e^{b\Log(a)},
onde \Log(a) é o logaritmo complexo de a. O logaritmo complexo é multivalorado e, usando módulo e argumento, para a=re^{i\theta} temos todas as folhas
\Log(a)=\ln r + i(\theta+2\pi k),\qquad k\in\mathbb{Z}.
No nosso caso a=i tem r=1, logo \ln r=0, e as folhas do logaritmo de i são
\Log(i)=i\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.
Aqui explico o que cada símbolo significa: \ln r é o logaritmo real do módulo, \theta é um argumento qualquer de i, e k indexa as diferentes folhas (valores) do logaritmo complexo.

Passo 4

Aplicando a definição de potência para a=i e b=i, obtemos
i^{i} = e^{\,i\Log(i)}.
Este passo usa exatamente a regra a^{b}=e^{b\Log(a)}. É importante: como \Log(i) é multivalorado, i^{i} também é multivalorado (ou seja, tem vários valores correspondentes a diferentes k). Vou agora substituir a expressão de \Log(i) do passo anterior.

Passo 5

Substituo \Log(i)=i\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right) em i^{i}=e^{i\Log(i)}. Assim,
i^{i} = e^{\,i\cdot \left[i\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)\right]}.
Agora uso a conta i\cdot i = i^{2} = -1. Portanto o expoente fica
i\cdot i\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right) = -\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right).
Logo
i^{i} = e^{-\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)}.

Passo 6

Simplifico a expressão do expoente escrevendo \frac{\pi}{2}+2\pi k com denominador comum \,2:
\frac{\pi}{2}+2\pi k = \frac{\pi}{2} + \frac{4\pi k}{2} = \frac{\pi(1+4k)}{2} = \frac{(4k+1)\pi}{2}.
Substituindo na fórmula anterior obtenho
i^{i} = e^{-\frac{(4k+1)\pi}{2}}.

Passo 7

Interpretação e exemplo numérico rápido para fixar: a fórmula mostra que i^{i} tem infinitos valores reais positivos (surpresa agradável): para k=0 obtemos o valor mais conhecido
i^{i}=e^{-\frac{\pi}{2}}\quad\text{(caso \(k=0\))},
para k=1 obtemos e^{-\frac{9\pi}{2}}, e assim por diante. Isso decorre do caráter multivalorado do logaritmo complexo. Cada inteiro k dá uma “folha” diferente.

Resposta

i^{i}=e^{-\frac{(4 k+1) \pi}{2}}

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