Exercício 10 Mostre que, para todo
,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
,
Informações dadas (explícitas ou implícitas) que vou usar:
é a unidade imaginária com
; em números complexos podemos escrever um número em forma polar/exponencial e a função logarítmica complexa é multivalorada (tem várias folhas, indexadas por um inteiro
). Não vou resolver nada ainda, só deixei claro o que se pede e o que posso usar.
Passo 2
Vamos lembrar como escrever
na forma exponencial (Euler). Qualquer número complexo
pode ser escrito como
onde
é o módulo e
é um argumento de
. Para
temos
e um argumento básico
, mas como argumentos são definidos até adição de múltiplos inteiros de
, os argumentos de
são
Portanto, tirado esse fato da “caixinha de ferramentas”,
Passo 3
Agora explico a definição que vou usar para potência complexa: para
e
complexos, define-se
onde
é o logaritmo complexo de
. O logaritmo complexo é multivalorado e, usando módulo e argumento, para
temos todas as folhas
No nosso caso
tem
, logo
, e as folhas do logaritmo de
são
Aqui explico o que cada símbolo significa:
é o logaritmo real do módulo,
é um argumento qualquer de
, e
indexa as diferentes folhas (valores) do logaritmo complexo.
Passo 4
Aplicando a definição de potência para
e
, obtemos
Este passo usa exatamente a regra
. É importante: como
é multivalorado,
também é multivalorado (ou seja, tem vários valores correspondentes a diferentes
). Vou agora substituir a expressão de
do passo anterior.
Passo 5
Substituo
em
. Assim,
Agora uso a conta
. Portanto o expoente fica
Logo
Passo 6
Simplifico a expressão do expoente escrevendo
com denominador comum
:
Substituindo na fórmula anterior obtenho
Passo 7
Interpretação e exemplo numérico rápido para fixar: a fórmula mostra que
tem infinitos valores reais positivos (surpresa agradável): para
obtemos o valor mais conhecido
para
obtemos
, e assim por diante. Isso decorre do caráter multivalorado do logaritmo complexo. Cada inteiro
dá uma “folha” diferente.