Exercício 9 Ache todas as raizes das equações:
e^{-z}=1;

Passo 1

O enunciado pede: "Ache todas as raízes da equação e^{-z}=1".
Informações dadas: a incógnita z é (implicitamente) complexa; queremos todos os números complexos z que satisfazem a igualdade e^{-z}=1. Não há restrição adicional sobre z.

Passo 2

Vamos representar z em suas partes real e imaginária. Escrevemos
z = x + i y,
onde x e y são números reais, x=\Re(z) e y=\Im(z).
Agora lembro a definição útil da exponencial complexa (fórmula de Euler): para \theta\in\mathbb{R},
e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta,
e para u\in\mathbb{R},
e^{u+i\theta}=e^{u}\,e^{i\theta}=e^{u}(\cos\theta + i\sin\theta).
Aqui e^{u} é a exponencial real (positiva) e e^{i\theta} dá a parte angular no círculo unitário.

Passo 3

Aplicamos isso a e^{-z}. Como z=x+iy, temos
-e^{}z = -(x+iy) = -x - i y,
portanto, usando a propriedade acima,
e^{-z} = e^{-x - i y} = e^{-x}\,e^{-i y} = e^{-x}\big(\cos(-y)+i\sin(-y)\big).
Como \cos(-y)=\cos y e \sin(-y)=-\sin y, podemos também escrever
e^{-z} = e^{-x}\big(\cos y - i\sin y\big).

Passo 4

A equação pede que e^{-z}=1. Escrevendo 1 como 1+0i, igualamos as partes módulo e argumento da expressão obtida. Primeiro, a parte real positiva e^{-x} é o módulo (ou fator radial) da exponencial complexa. Para e^{-z} ter módulo 1 precisamos de
e^{-x}=1.
Como a função exponencial real e^{u} é igual a 1 somente quando u=0, segue
-x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.

Passo 5

Agora que x=0, a equação reduz-se a
e^{-z}=e^{-i y}=1.
A exponencial complexa e^{i\theta} é periódica de período 2\pi: para todo k\in\mathbb{Z},
e^{i(\theta+2\pi k)}=e^{i\theta}.
Portanto e^{-i y}=1 significa que o argumento -y deve ser congruente a 0 módulo 2\pi. Em símbolos:
-y = 2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Assim
y = -2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Juntando as duas informações x=0 e y=-2\pi k, obtemos as soluções na forma z = x + i y:
z = 0 + i(-2\pi k) = -2\pi i k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Se preferirmos um índice n em vez de -k (já que k varia por todos os inteiros), podemos escrever equivalentemente z=2\pi i n com n\in\mathbb{Z}. Ambas as formas descrevem exatamente o mesmo conjunto de pontos: todos os múltiplos inteiros de 2\pi i no eixo imaginário.

Passo 7

Verificação rápida com exemplos: para n=0 temos z=0 e e^{-0}=1. Para n=1 temos z=2\pi i e
e^{-2\pi i}=e^{-i2\pi}=\cos(-2\pi)+i\sin(-2\pi)=1.
Assim confirma-se que todos z=2\pi i n satisfazem a equação. Observação conceitual: isso é a mesma ideia que dizer que o logaritmo complexo de 1 é múltiplo de 2\pi i.

Resposta

\displaystyle z=2\pi i n,\; n\in\mathbb{Z}

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