Exercício 9 Ache todas as raizes das equações:
;
Passo 1
O enunciado pede: "Ache todas as raízes da equação
".
Informações dadas: a incógnita é (implicitamente) complexa; queremos todos os números complexos
que satisfazem a igualdade
. Não há restrição adicional sobre
.
Informações dadas: a incógnita
Passo 2
Vamos representar
em suas partes real e imaginária. Escrevemos
onde
e
são números reais,
e
.
Agora lembro a definição útil da exponencial complexa (fórmula de Euler): para ,
Agora lembro a definição útil da exponencial complexa (fórmula de Euler): para
e para
,
Aqui
é a exponencial real (positiva) e
dá a parte angular no círculo unitário.
Passo 3
Aplicamos isso a
. Como
, temos
portanto, usando a propriedade acima,
Como
e
, podemos também escrever
Passo 4
A equação pede que
. Escrevendo
como
, igualamos as partes módulo e argumento da expressão obtida. Primeiro, a parte real positiva
é o módulo (ou fator radial) da exponencial complexa. Para
ter módulo
precisamos de
Como a função exponencial real
é igual a
somente quando
, segue
Passo 5
Agora que
, a equação reduz-se a
A exponencial complexa
é periódica de período
: para todo
,
Portanto
significa que o argumento
deve ser congruente a
módulo
. Em símbolos:
Assim
Passo 6
Juntando as duas informações
e
, obtemos as soluções na forma
:
Se preferirmos um índice
em vez de
(já que
varia por todos os inteiros), podemos escrever equivalentemente
com
. Ambas as formas descrevem exatamente o mesmo conjunto de pontos: todos os múltiplos inteiros de
no eixo imaginário.
Passo 7
Verificação rápida com exemplos: para
temos
e
. Para
temos
e
Assim confirma-se que todos
satisfazem a equação. Observação conceitual: isso é a mesma ideia que dizer que o logaritmo complexo de
é múltiplo de
.