Determinar a relação entre tempos e velocidades em dois escoamentos dinamicamente semelhantes quando em ambos o fluido é o mesmo e a força dominante do fenômeno é:
A força viscosa;

Passo 1

O enunciado pede a relação de escalas de tempo e de velocidade entre dois escoamentos geometricamente semelhantes, com o mesmo fluido (mesma viscosidade cinemática \nu) e onde a força viscosa domina (regime de Stokes). Para isso vamos usar análise de dimensões no regime viscoso, em que as equações reduzem-se à equação de Stokes e o único parâmetro relevante é \nu, além do comprimento característico L e da velocidade U.

Passo 2

Em regime de Stokes (força viscosa dominante) o tempo característico T surge da difusão viscosa, e tem dimensão de
[T]\sim\frac{[L]^2}{[\nu]}
Ou seja,
T\sim\frac{L^2}{\nu}.

Passo 3

A velocidade característica pode ser obtida como U\sim L/T. Substituindo T\sim L^2/\nu, vem
U\sim\frac{L}{L^2/\nu}=\frac{\nu}{L}.
Logo ambas as grandezas escalam com L.

Resposta

\frac{T_1}{T_2} = \Bigl(\frac{L_1}{L_2}\Bigr)^{2},
\frac{U_1}{U_2} = \frac{L_2}{L_1}.

Exercícios relacionados