Um certo escoamento depende da velocidade v , da massa específica \rho, das dimensões lineares \ell_{1}, \ell_{2} e \ell_{3}, da queda de pressão \Delta \mathrm{p}, da aceleração da gravidade g , da viscosidade dinâmica \mu, da tensão superficial \sigma e do módulo de elasticidade volumétrica E. Aplicar a análise dimensional para obter um conjunto de parâmetros adimensionais que descrevam o comportamento desse escoamento. Usar \rho, ve \ell_{1} como variáveis repetitivas.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teorema de Buckingham e obter parâmetros adimensionais (π-grupos) para um escoamento que depende de v, \rho, \ell_{1}, \ell_{2}, \ell_{3}, \Delta p, g, \mu, \sigma e E, usando \rho, v e \ell_{1} como variáveis repetitivas.

Passo 2

Contamos n=10 variáveis e m=3 dimensões fundamentais M,L,T. Pelo Teorema de Buckingham, o número de π-grupos é
n - m = 10 - 3 = 7.

Passo 3

Escrevemos as dimensões de cada variável e consideramos um π-grupo genérico
\pi = \rho^{a}\,v^{b}\,\ell_{1}^{c}\,X
para uma variável X. As equações de equilíbrio das dimensões M,L,T são:
M: a + d_{M}(X) = 0,
L: -3a + b + c + d_{L}(X) = 0,
T: -b + d_{T}(X) = 0,
onde d_{M,L,T}(X) são os expoentes de X.

Passo 4

Para as dimensões lineares X=\ell_{2} e X=\ell_{3} temos d_{M}=0, d_{L}=1, d_{T}=0. Das equações obtemos a=0, b=0, c=-1, logo
\pi_{1}=\frac{\ell_{2}}{\ell_{1}}, \quad \pi_{2}=\frac{\ell_{3}}{\ell_{1}}.

Passo 5

Para X=\Delta p com [\Delta p]=M\,L^{-1}\,T^{-2} vem d_{M}=1, d_{L}=-1, d_{T}=-2. Resolve-se a=-1, b=-2, c=0, de onde
\pi_{3}=\frac{\Delta p}{\rho\,v^{2}}.

Passo 6

Para X=g com [g]=L\,T^{-2} vem d_{M}=0, d_{L}=1, d_{T}=-2. Resolve-se a=0, b=-2, c=1, de onde
\pi_{4}=\frac{g\,\ell_{1}}{v^{2}}.

Passo 7

Para X=\mu com [\mu]=M\,L^{-1}\,T^{-1} vem d_{M}=1, d_{L}=-1, d_{T}=-1. Resolve-se a=-1, b=-1, c=-1, de onde
\pi_{5}=\frac{\mu}{\rho\,v\,\ell_{1}}.

Passo 8

Para X=\sigma com [\sigma]=M\,T^{-2} vem d_{M}=1, d_{L}=0, d_{T}=-2. Resolve-se a=-1, b=-2, c=-1, de onde
\pi_{6}=\frac{\sigma}{\rho\,v^{2}\,\ell_{1}}.

Passo 9

Para X=E com [E]=M\,L^{-1}\,T^{-2} (mesma de \Delta p) vem a=-1, b=-2, c=0, de onde
\pi_{7}=\frac{E}{\rho\,v^{2}}.

Resposta

Os sete parâmetros adimensionais são: \displaystyle \pi_{1}=\frac{\ell_{2}}{\ell_{1}}, \displaystyle \pi_{2}=\frac{\ell_{3}}{\ell_{1}}, \displaystyle \pi_{3}=\frac{\Delta p}{\rho\,v^{2}}, \displaystyle \pi_{4}=\frac{g\,\ell_{1}}{v^{2}}, \displaystyle \pi_{5}=\frac{\mu}{\rho\,v\,\ell_{1}}, \displaystyle \pi_{6}=\frac{\sigma}{\rho\,v^{2}\,\ell_{1}}, \displaystyle \pi_{7}=\frac{E}{\rho\,v^{2}}.

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