Questão 2 (4.0 pontos)

Um sistema em forma de rotor simétrico com dois braços iguais é alimentado por água \left(\rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right), como parte de um sistema de irrigação. Cada saída do rotor tem diâmetro D=25 \mathrm{~mm} e está localizada a uma distância \tau=0.4 \mathrm{~m} do eixo central de rotação. O fluido é descarregado tangencialmente nos dois bocais, com velocidade absoluta média de V=12 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em relação ao bocal.
Considere regime permanente e despreze a variação da quantidade de movimento angular na entrada (ou seja, o fluido entra axialmente, sem componente tangencial de velocidade).
a) Representar através de um croqui esquemático o rotor e o volume de controle esco-
Ihido, indicando claramente: [leftmargin ={ }^{*}, nosep]
  • Direções das velocidades de saída,
  • Sentido de rotação esperado (hipotético),
  • Posição radial dos bocais,
  • Vetores de momento angular.
    b) Determinar o torque resultante produzido pelo escoamento em relação ao eixo central do rotor.

Passo 1

O enunciado descreve um rotor simétrico de dois braços alimentado por água ( \rho=1000,kg/ m^{3}). Cada bocal de saída tem diâmetro D=25,mm e está a uma distância radial \tau=0{,}4,m do eixo. O fluido entra axialmente (sem componente tangencial) e sai tangencialmente com velocidade absoluta média V=12,m/s. Precisamos usar o Teorema do Momento Angular (conservação da quantidade de movimento angular) em regime permanente para determinar o torque no eixo.

Passo 2

Vamos descrever o croqui esquemático (vista superior):
– Desenhe um disco indicando o eixo central.
– Marque dois bocais opostos a 180^\circ, cada um a raio \tau.
– No interior, indique o volume de controle que envolve o rotor e as duas saídas.
– Nos bocais, desenhe setas tangenciais (isto é, paralelas à circunferência de raio \tau) apontando para, por exemplo, a direita no bocal de cima e para a esquerda no de baixo.
– A seta de sentido de rotação do rotor deve ser oposta à direção do jato (reação), por exemplo, sentido anti-horário se o jato sai para a direita no bocal superior.
– Em cada bocal, coloque o vetor de momento angular \mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{v} apontando para cima (eixo positivo) segundo a regra da mão direita.

Passo 3

Calcular a vazão mássica em cada bocal. A área de saída é
A = \frac{\pi D^2}{4}
logo
A = \frac{\pi (0{,}025)^2}{4}\approx 0{,}0004909\;\text{m}^2.
A vazão mássica em regime permanente é
\dot m = \rho\,A\,V
portanto, por bocal,
\dot m = 1000\;\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\times 0{,}0004909\;\text{m}^2\times 12\;\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 5{,}8909\;\frac{\text{kg}}{\text{s}}.

Passo 4

Em regime permanente, o torque no rotor é dado pela taxa de variação da quantidade de movimento angular do fluido:
T = \sum (\dot m\,\tau\,V_\theta)_\text{saídas} - (\dots)_\text{entradas}.í
Como a entrada não tem componente tangencial, só consideramos as duas saídas. Para cada bocal, o momento angular é \dot m\,\tau\,V. Logo o torque produzido por um bocal é
T_1 = \dot m\,\tau\,V.

Passo 5

Somando os dois bocais, o torque total é
T = 2\,\dot m\,\tau\,V.

Passo 6

Substituindo numericamente:
T = 2 \times 5{,}8909\;\frac{\text{kg}}{\text{s}} \times 0{,}4\;\text{m} \times 12\;\frac{\text{m}}{\text{s}} = 2 \times 5{,}8909 \times 4{,}8 \approx 56{,}55\;\text{N\cdotm}.

Resposta

O torque resultante no eixo é de aproximadamente 56{,}6, N\cdot m, no sentido que faz o rotor girar oposto à direção dos jatos.

Exercícios relacionados