O campo de velocidade é dado por \vec{V}(y, t)=\left\langle a, b y t^{2}\right\rangle(\mathrm{m} / \mathrm{s}), em que a=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e b=1. Em t=1 s, encontre a equação da linha de corrente que passa no ponto (1, e).

Passo 1

O enunciado nos dá um campo de velocidade no plano \vec{V}(y,t)=\langle a,\,b\,y\,t^2\rangle (m/s), com a=1 m/s e b=1. Pede-se a equação da linha de corrente (streamline) no instante t=1 que passa pelo ponto (1,e). Para isso, vamos usar que num instante fixo t a equação da streamline satisfaz
\frac{dy}{dx}=\frac{V_y}{V_x}.

Passo 2

Em t=1, substituímos na velocidade e obtemos
\vec{V}(y,1)=\bigl\langle 1,\;y\cdot1^2\bigr\rangle =\langle 1,\,y\rangle.
Logo, V_x=1 e V_y=y.

Passo 3

Escrevemos a equação diferencial da streamline:
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{1}=y.
Isso é uma equação separável.

Passo 4

Separamos e integramos:
\frac{1}{y}\,dy=dx \quad\Longrightarrow\quad \int\frac{1}{y}\,dy=\int dx \quad\Longrightarrow\quad \ln y = x + C.
Exponentiando,
y = C_e\,e^x,
onde chamamos C_e=e^C.

Passo 5

Usamos a condição de passagem pelo ponto (1,e):
e = C_e\,e^1 \quad\Longrightarrow\quad C_e = \frac{e}{e}=1.
Portanto a streamline é
y = e^x.

Resposta

A equação da linha de corrente em t=1 que passa por (1,e) é
y = e^x.

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