Determinar uma relação entre x e y, independente de t, sabendo que x=5 \operatorname{tg}(t) e y=3 \operatorname{cossec}(t).
Passo 1
O enunciado dá as duas relações paramétricas
x=5\tan(t)
y=3\csc(t)
e pede: determinar uma relação entre x e y que não contenha o parâmetro t (ou seja, eliminar t). Também é útil anotar que essas fórmulas exigem \sin(t)\neq0 e \cos(t) bem definidas nos pontos considerados.
Passo 2
Vamos lembrar definições e ideias que vamos usar (mini-aula rápida e direta).
\csc(t) é o recíproco do seno: \csc(t)=\dfrac{1}{\sin(t)}. Portanto, a partir de y=3\csc(t) podemos escrever \sin(t) em termos de y.
\tan(t) é a razão entre seno e cosseno: \tan(t)=\dfrac{\sin(t)}{\cos(t)}. A partir de x=5\tan(t) podemos escrever \tan(t) em termos de x.
A identidade pitagórica fundamental é \sin^2(t)+\cos^2(t)=1. Essa identidade permite eliminar tanto \sin quanto \cos quando expressos em termos de x e y.
Passo 3
Expressar \sin(t) em termos de y. A partir de y=3\csc(t) e \csc(t)=1/\sin(t) obtemos
\sin(t)=\frac{3}{y}.
Observação rápida: como \sin(t) está entre -1 e 1, isso implica depois que \left|\dfrac{3}{y}\right|\le1, ou seja |y|\ge3 (vou voltar nisso).
Passo 4
Expressar \cos(t) em termos de x e y. De x=5\tan(t) temos
\tan(t)=\frac{x}{5}.
Como \tan(t)=\dfrac{\sin(t)}{\cos(t)}, isolamos \cos(t):
\cos(t)=\frac{\sin(t)}{\tan(t)}.
Substituindo \sin(t)=\dfrac{3}{y} e \tan(t)=\dfrac{x}{5}, obtemos