Determinar uma relação entre x e y, independente de t, sabendo que x=5 \operatorname{tg}(t) e y=3 \operatorname{cossec}(t).

Passo 1

O enunciado dá as duas relações paramétricas
x=5\tan(t)
y=3\csc(t)
e pede: determinar uma relação entre x e y que não contenha o parâmetro t (ou seja, eliminar t). Também é útil anotar que essas fórmulas exigem \sin(t)\neq0 e \cos(t) bem definidas nos pontos considerados.

Passo 2

Vamos lembrar definições e ideias que vamos usar (mini-aula rápida e direta).
  • \csc(t) é o recíproco do seno: \csc(t)=\dfrac{1}{\sin(t)}. Portanto, a partir de y=3\csc(t) podemos escrever \sin(t) em termos de y.
  • \tan(t) é a razão entre seno e cosseno: \tan(t)=\dfrac{\sin(t)}{\cos(t)}. A partir de x=5\tan(t) podemos escrever \tan(t) em termos de x.
  • A identidade pitagórica fundamental é \sin^2(t)+\cos^2(t)=1. Essa identidade permite eliminar tanto \sin quanto \cos quando expressos em termos de x e y.

Passo 3

Expressar \sin(t) em termos de y. A partir de y=3\csc(t) e \csc(t)=1/\sin(t) obtemos
\sin(t)=\frac{3}{y}.
Observação rápida: como \sin(t) está entre -1 e 1, isso implica depois que \left|\dfrac{3}{y}\right|\le1, ou seja |y|\ge3 (vou voltar nisso).

Passo 4

Expressar \cos(t) em termos de x e y. De x=5\tan(t) temos
\tan(t)=\frac{x}{5}.
Como \tan(t)=\dfrac{\sin(t)}{\cos(t)}, isolamos \cos(t):
\cos(t)=\frac{\sin(t)}{\tan(t)}.
Substituindo \sin(t)=\dfrac{3}{y} e \tan(t)=\dfrac{x}{5}, obtemos
\cos(t)=\frac{ \dfrac{3}{y} }{ \dfrac{x}{5} } = \frac{3}{y}\cdot\frac{5}{x}=\frac{15}{x\,y}.

Passo 5

Agora aplicamos a identidade pitagórica \sin^2(t)+\cos^2(t)=1. Substituindo as expressões que encontramos:
\left(\frac{3}{y}\right)^2+\left(\frac{15}{x\,y}\right)^2=1.
Calcule os quadrados:
\frac{9}{y^2}+\frac{225}{x^2 y^2}=1.
Multiplicando ambos os lados por x^2 y^2 (supõe-se x\neq0 e y\neq0, compatível com as fórmulas originais):
9x^2+225=x^2 y^2.

Passo 6

Arrumando a relação em uma forma mais padrão, podemos escrever
x^2 y^2-9x^2-225=0.
Ou isolando um fator:
x^2\bigl(y^2-9\bigr)=225.
E, como comentado no Passo 3, pela interpretação de \sin(t)=3/y deve valer |y|\ge3.

Resposta

x^2 y^2-9x^2-225=0

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