Sejam as funções:
Passo 1
O enunciado nos dá quatro funções (isto é tudo o que foi dado) e não contém uma pergunta explícita. As funções fornecidas são:
Como não foi especificado o que calcular, vou escolher um conjunto de itens que costumam cair em provas e que são úteis para entender e trabalhar com essas funções:
- domínio de cada função;
- raízes (zeros) e interceptos com os eixos;
- derivadas (para estudar monotonicidade e pontos críticos);
- inversa quando existir (ou como obter a expressão);
- composição típica
e ; - comportamento assintótico de
(assíntotas vertical e horizontal); - solução da equação
(função trigonométrica).
Nos passos seguintes vou ensinar os conceitos necessários e calcular cada item passo a passo, explicando tudo de forma didática.]
Passo 2
Domínio — o que é e como achar:
Explicação rápida: o domínio de uma função é o conjunto de valores de
para os quais a expressão da função faz sentido (não gera divisão por zero, log de número negativo, raiz de índice par de número negativo, etc.). Para funções polinomiais e trigonométricas elementares, o domínio costuma ser todo
. Para funções racionais (frações), excluem-se os pontos que anulam o denominador.
Aplicando isso às funções dadas:
-
. É um polinômio de 1º grau, não tem denominador nem raiz, logo o domínio é . -
. É um polinômio quadrático, portanto domínio . -
. Seno e cosseno estão definidos para todo , então domínio . -
. Aqui temos denominador , que não pode ser zero. Logo o domínio é .
Passo 3
Zeros (raízes) — definição e cálculo:
Explicação: um zero de uma função é um
tal que a função vale zero. Para polinômios, fatorar ou resolver a equação é a forma usual; para funções racionais, iguala-se o numerador a zero (desde que o ponto esteja no domínio); para funções trigonométricas, transforma-se a equação usando identidades trigonométricas.
Calculemos:
- Para
resolver :
- Para
fatorar a quadrática. Procuramos fatores cujo produto seja e soma seja : são e . Então
Portanto as raízes são
e
.
- Para
resolver .
Isolando:
Se
podemos dividir por
e obter
. As soluções de
são
(Verificação: nesses
,
e
têm sinais opostos e mesmos módulos, somando zero. Não há solução extra com
porque se
então
e
.)
- Para
zerar o numerador (desde que ):
E
está no domínio (
), então é raiz válida.
Passo 4
Derivadas e monotonicidade — regras que usaremos e aplicações:
Revisão curta das regras usadas:
- Derivada de
é . - Derivada de
é , e por linearidade somas derivam termo a termo. - Derivada de
é ; de é . - Regra do quociente: se
então
Monotonicidade: onde a derivada é positiva, a função cresce; onde negativa, decresce; zeros da derivada são candidatos a extremos.
Agora calculemos:
-
. Derivada:
Constante positiva, logo
é estritamente crescente em todo
.
-
. Derivada:
Zera em
. Então
para
(decrescente) e
para
(crescente). Assim
é o vértice (mínimo) da parábola.
-
. Derivada:
Zera quando
, ou
, logo
Entre esses pontos a função muda de crescimento para decrescimento, pois a derivada alterna de sinal periodicamente.
-
. Aplicando a regra do quociente com :
Como
para todo
, temos
em todo o domínio. Conclusão:
é estritamente decrescente em
.
Passo 5
Inversas — quando existem e como obter:
Conceito: uma função tem inversa se for bijetora (injetora e sobrejetora) entre conjuntos considerados. Para muitos casos de prova verifica-se injetividade (derivada de sinal único, ou mostrar monotonicidade) e então resolve-se
para
.
-
. É linear estritamente crescente (derivada ), logo bijetora de em . Para achar a inversa resolver para :
Portanto
-
. Quadrática não é injetora em (não é monotônica em todo ). Podemos, porém, obter as duas ramificações da inversa ao resolver a equação para . Isso é uma equação quadrática em :
O discriminante é
Assim
Portanto a “inversa” tem duas ramificações (mais precisamente
é invertível se restrito a um ramo monotônico, por exemplo
ou
); as expressões acima correspondem às duas possíveis soluções.
-
. É periódica (período ) e não injetora em , logo não tem inversa global. Pode-se, em problemas, restringir o domínio a um intervalo onde seja injetora e então obter inversa local, mas isso não é trivial e depende do intervalo escolhido. -
. Vamos resolver para (lembrando que e aparecerá depois):
Se
então
Isto mostra que a fórmula da inversa é a mesma expressão racional:
com as devidas restrições de domínio e contradomínio: o domínio de
é
, e a imagem de
também é
. Em outras palavras,
é uma involução:
.
Passo 6
Composições — exemplo prático e como fazer substituição:
Regra:
— substituir a expressão de
na fórmula de
.
- Calcular
. Como e , substituímos :
Expandindo passo a passo:
Somando tudo:
Podemos tentar fatorar: observando raízes racionais ou usando fórmula, encontra-se
- Calcular
. Substituindo em :
Esses tipos de manipulação (substituir e expandir, depois simplificar e fatorar se necessário) são típicos em provas.
Passo 7
Comportamento assintótico de
:
Explicação: assíntotas verticais ocorrem onde o denominador zera (e numerador não zera no mesmo ponto). Assíntotas horizontais ou oblíquas se observando o comportamento quando
.
-
Denominador
em . Como o numerador em é , há assíntota vertical em . Próximo a : -
(denominador negativamente pequeno); -
(denominador positivamente pequeno).
-
-
Para
, dividindo numerador e denominador por (ou observando grau dos polinômios iguais) tem-se
Logo há uma assíntota horizontal
.
Passo 8
Resumo de observações úteis para prova e dicas rápidas
- Polinômios e funções trigonométricas usuais têm domínio
; funções racionais excluem zeros do denominador. - Para achar zeros de polinômios, fatorar é a forma mais rápida quando possível.
- Derivada constante indica monotonicidade global (ex.:
crescente). - Quadráticas não são invertíveis em
sem restrição; sua “inversa” geral vem com (fórmula quadrática). - Funções racionais simples podem ser involuções (como
), e então a inversa tem a mesma forma. - Em provas, quando pedirem composição, faça substituição direta e simplifique passo a passo, cuidando de fatorar no final se possível (isso facilita ver zeros, sinais e etc.).
- Para equações trigonométricas, transformar soma em relação de tangente ou usar identidades pode agilizar.
Resposta
Domínios:
Raízes:
Derivadas:
Inversas: (duas ramificações; invertível só restringindo domínio);
não tem inversa global;
(involução), com domínios adequados.
Composições:
Assíntotas de : assíntota vertical em
; assíntota horizontal
.
Raízes:
Derivadas:
Inversas:
Composições:
Assíntotas de