Sejam as funções:
\begin{aligned} f(x) & =3 x+7 \\ g(x) & =x^{2}-7 x+10 \\ h(x) & =\operatorname{sen}(x)+\cos (x) \\ k(x) & =\frac{x+1}{x-1} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá quatro funções (isto é tudo o que foi dado) e não contém uma pergunta explícita. As funções fornecidas são:
\begin{aligned} f(x) &= 3x+7,\\[4pt] g(x) &= x^{2}-7x+10,\\[4pt] h(x) &= \operatorname{sen}(x)+\cos(x),\\[4pt] k(x) &= \frac{x+1}{x-1}. \end{aligned}
Como não foi especificado o que calcular, vou escolher um conjunto de itens que costumam cair em provas e que são úteis para entender e trabalhar com essas funções:
  • domínio de cada função;
  • raízes (zeros) e interceptos com os eixos;
  • derivadas (para estudar monotonicidade e pontos críticos);
  • inversa quando existir (ou como obter a expressão);
  • composição típica g\circ f e f\circ g;
  • comportamento assintótico de k(x) (assíntotas vertical e horizontal);
  • solução da equação h(x)=0 (função trigonométrica).
Nos passos seguintes vou ensinar os conceitos necessários e calcular cada item passo a passo, explicando tudo de forma didática.]

Passo 2

Domínio — o que é e como achar:
Explicação rápida: o domínio de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a expressão da função faz sentido (não gera divisão por zero, log de número negativo, raiz de índice par de número negativo, etc.). Para funções polinomiais e trigonométricas elementares, o domínio costuma ser todo \mathbb{R}. Para funções racionais (frações), excluem-se os pontos que anulam o denominador.
Aplicando isso às funções dadas:
  • f(x)=3x+7. É um polinômio de 1º grau, não tem denominador nem raiz, logo o domínio é \mathbb{R}.
  • g(x)=x^{2}-7x+10. É um polinômio quadrático, portanto domínio \mathbb{R}.
  • h(x)=\operatorname{sen}(x)+\cos(x). Seno e cosseno estão definidos para todo x\in\mathbb{R}, então domínio \mathbb{R}.
  • k(x)=\dfrac{x+1}{x-1}. Aqui temos denominador x-1, que não pode ser zero. Logo o domínio é \mathbb{R}\setminus\{1\}.

Passo 3

Zeros (raízes) — definição e cálculo:
Explicação: um zero de uma função é um x tal que a função vale zero. Para polinômios, fatorar ou resolver a equação é a forma usual; para funções racionais, iguala-se o numerador a zero (desde que o ponto esteja no domínio); para funções trigonométricas, transforma-se a equação usando identidades trigonométricas.
Calculemos:
  1. Para f(x)=3x+7 resolver 3x+7=0:
3x=-7\quad\Rightarrow\quad x=-\frac{7}{3}.
  1. Para g(x)=x^{2}-7x+10 fatorar a quadrática. Procuramos fatores cujo produto seja 10 e soma seja -7: são -5 e -2. Então
g(x)=(x-5)(x-2).
Portanto as raízes são x=5 e x=2.
  1. Para h(x)=\operatorname{sen}(x)+\cos(x) resolver \operatorname{sen}(x)+\cos(x)=0.
    Isolando:
\operatorname{sen}(x)=-\cos(x).
Se \cos(x)\neq 0 podemos dividir por \cos(x) e obter \tan(x)=-1. As soluções de \tan(x)=-1 são
x=-\frac{\pi}{4}+n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
(Verificação: nesses x, \sin e \cos têm sinais opostos e mesmos módulos, somando zero. Não há solução extra com \cos(x)=0 porque se \cos(x)=0 então \sin(x)=\pm 1 e \sin(x)+\cos(x)=\pm 1\neq 0.)
  1. Para k(x)=\dfrac{x+1}{x-1} zerar o numerador (desde que x\neq 1):
x+1=0\quad\Rightarrow\quad x=-1.
E x=-1 está no domínio ( -1\neq 1), então é raiz válida.

Passo 4

Derivadas e monotonicidade — regras que usaremos e aplicações:
Revisão curta das regras usadas:
  • Derivada de ax+b é a.
  • Derivada de x^{2} é 2x, e por linearidade somas derivam termo a termo.
  • Derivada de \sin(x) é \cos(x); de \cos(x) é -\sin(x).
  • Regra do quociente: se k(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
k'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Monotonicidade: onde a derivada é positiva, a função cresce; onde negativa, decresce; zeros da derivada são candidatos a extremos.
Agora calculemos:
  1. f(x)=3x+7. Derivada:
f'(x)=3.
Constante positiva, logo f é estritamente crescente em todo \mathbb{R}.
  1. g(x)=x^{2}-7x+10. Derivada:
g'(x)=2x-7.
Zera em 2x-7=0\Rightarrow x=\tfrac{7}{2}=3{,}5. Então g'\!<0 para x<3{,}5 (decrescente) e g'\!>0 para x>3{,}5 (crescente). Assim x=3{,}5 é o vértice (mínimo) da parábola.
  1. h(x)=\sin(x)+\cos(x). Derivada:
h'(x)=\cos(x)-\sin(x).
Zera quando \cos(x)=\sin(x), ou \tan(x)=1, logo
x=\frac{\pi}{4}+n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Entre esses pontos a função muda de crescimento para decrescimento, pois a derivada alterna de sinal periodicamente.
  1. k(x)=\dfrac{x+1}{x-1}. Aplicando a regra do quociente com u(x)=x+1,\\ v(x)=x-1:
u'(x)=1,\quad v'(x)=1,
k'(x)=\frac{1\cdot(x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1)^{2}}=\frac{x-1-x-1}{(x-1)^{2}}=\frac{-2}{(x-1)^{2}}.
Como (x-1)^{2}>0 para todo x\neq 1, temos k'(x)=-\dfrac{2}{(x-1)^{2}}<0 em todo o domínio. Conclusão: k é estritamente decrescente em \mathbb{R}\setminus\{1\}.

Passo 5

Inversas — quando existem e como obter:
Conceito: uma função tem inversa se for bijetora (injetora e sobrejetora) entre conjuntos considerados. Para muitos casos de prova verifica-se injetividade (derivada de sinal único, ou mostrar monotonicidade) e então resolve-se y=f(x) para x.
  1. f(x)=3x+7. É linear estritamente crescente (derivada 3>0), logo bijetora de \mathbb{R} em \mathbb{R}. Para achar a inversa resolver y=3x+7 para x:
3x=y-7\quad\Rightarrow\quad x=\frac{y-7}{3}.
Portanto
f^{-1}(x)=\frac{x-7}{3}.
  1. g(x)=x^{2}-7x+10. Quadrática não é injetora em \mathbb{R} (não é monotônica em todo \mathbb{R}). Podemos, porém, obter as duas ramificações da inversa ao resolver a equação y=x^{2}-7x+10 para x. Isso é uma equação quadrática em x:
x^{2}-7x+(10-y)=0.
O discriminante é
\Delta=49-4(10-y)=9+4y.
Assim
x=\frac{7\pm\sqrt{9+4y}}{2}.
Portanto a “inversa” tem duas ramificações (mais precisamente g é invertível se restrito a um ramo monotônico, por exemplo x\ge \tfrac{7}{2} ou x\le \tfrac{7}{2}); as expressões acima correspondem às duas possíveis soluções.
  1. h(x)=\sin(x)+\cos(x). É periódica (período 2\pi) e não injetora em \mathbb{R}, logo não tem inversa global. Pode-se, em problemas, restringir o domínio a um intervalo onde seja injetora e então obter inversa local, mas isso não é trivial e depende do intervalo escolhido.
  2. k(x)=\dfrac{x+1}{x-1}. Vamos resolver y=\dfrac{x+1}{x-1} para x (lembrando que x\neq 1 e y\neq 1 aparecerá depois):
y(x-1)=x+1\quad\Rightarrow\quad yx-y=x+1\quad\Rightarrow\quad x(y-1)=y+1.
Se y\neq 1 então
x=\frac{y+1}{y-1}.
Isto mostra que a fórmula da inversa é a mesma expressão racional:
k^{-1}(x)=\frac{x+1}{x-1},
com as devidas restrições de domínio e contradomínio: o domínio de k^{-1} é \mathbb{R}\setminus\{1\}, e a imagem de k também é \mathbb{R}\setminus\{1\}. Em outras palavras, k é uma involução: k^{-1}=k.

Passo 6

Composições — exemplo prático e como fazer substituição:
Regra: (g\circ f)(x)=g(f(x)) — substituir a expressão de f(x) na fórmula de g.
  1. Calcular g(f(x)). Como f(x)=3x+7 e g(t)=t^{2}-7t+10, substituímos t=3x+7:
g(f(x))=(3x+7)^{2}-7(3x+7)+10.
Expandindo passo a passo:
(3x+7)^{2}=9x^{2}+42x+49,
-7(3x+7)=-21x-49.
Somando tudo:
g(f(x))=9x^{2}+42x+49-21x-49+10=9x^{2}+21x+10.
Podemos tentar fatorar: observando raízes racionais ou usando fórmula, encontra-se
9x^{2}+21x+10=(3x+5)(3x+2).
  1. Calcular f(g(x)). Substituindo g(x) em f:
f(g(x))=3\bigl(x^{2}-7x+10\bigr)+7=3x^{2}-21x+30+7=3x^{2}-21x+37.
Esses tipos de manipulação (substituir e expandir, depois simplificar e fatorar se necessário) são típicos em provas.

Passo 7

Comportamento assintótico de k(x)=\dfrac{x+1}{x-1}:
Explicação: assíntotas verticais ocorrem onde o denominador zera (e numerador não zera no mesmo ponto). Assíntotas horizontais ou oblíquas se observando o comportamento quando x\to\pm\infty.
  • Denominador x-1=0 em x=1. Como o numerador em x=1 é 2\neq 0, há assíntota vertical em x=1. Próximo a x=1:
    • \lim_{x\to 1^-} k(x)=-\infty (denominador negativamente pequeno);
    • \lim_{x\to 1^+} k(x)=+\infty (denominador positivamente pequeno).
  • Para x\to\pm\infty, dividindo numerador e denominador por x (ou observando grau dos polinômios iguais) tem-se
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x+1}{x-1}=1.
Logo há uma assíntota horizontal y=1.

Passo 8

Resumo de observações úteis para prova e dicas rápidas
  • Polinômios e funções trigonométricas usuais têm domínio \mathbb{R}; funções racionais excluem zeros do denominador.
  • Para achar zeros de polinômios, fatorar é a forma mais rápida quando possível.
  • Derivada constante indica monotonicidade global (ex.: f'(x)=3\Rightarrow crescente).
  • Quadráticas não são invertíveis em \mathbb{R} sem restrição; sua “inversa” geral vem com \pm (fórmula quadrática).
  • Funções racionais simples podem ser involuções (como k), e então a inversa tem a mesma forma.
  • Em provas, quando pedirem composição, faça substituição direta e simplifique passo a passo, cuidando de fatorar no final se possível (isso facilita ver zeros, sinais e etc.).
  • Para equações trigonométricas, transformar soma em relação de tangente ou usar identidades pode agilizar.

Resposta

Domínios: \operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R},\\ \operatorname{Dom}(g)=\mathbb{R},\\ \operatorname{Dom}(h)=\mathbb{R},\\ \operatorname{Dom}(k)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
Raízes: f(x)=0\Rightarrow x=-\dfrac{7}{3};\quad g(x)=0\Rightarrow x=2,\\\ 5;\quad h(x)=0\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{4}+n\pi,\\ n\in\mathbb{Z};\quad k(x)=0\Rightarrow x=-1.
Derivadas: f'(x)=3;\quad g'(x)=2x-7;\quad h'(x)=\cos(x)-\sin(x);\quad k'(x)=-\dfrac{2}{(x-1)^{2}}.
Inversas: f^{-1}(x)=\dfrac{x-7}{3};\quad g^{-1}(x)=\dfrac{7\pm\sqrt{9+4x}}{2} (duas ramificações; invertível só restringindo domínio); h não tem inversa global; k^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{x-1} (involução), com domínios adequados.
Composições: g(f(x))=9x^{2}+21x+10=(3x+5)(3x+2);\quad f(g(x))=3x^{2}-21x+37.
Assíntotas de k: assíntota vertical em x=1; assíntota horizontal y=1.

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