Parametrize a curva dada por sua equação cartesiana.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte sistema de equações que define a curva:
O que se pede: encontrar uma parametrização da curva (ou seja, uma expressão que dê as coordenadas
da curva em função de um parâmetro).
Informações relevantes fornecidas:
- A curva é o conjunto de pontos
em que vale e . - Devemos fornecer uma função vetorial
ou equações paramétricas com domínio (normalmente) .
Passo 2
Ideia simples (uma variável livre): como há duas equações para três incógnitas, sobra uma liberdade — podemos escolher uma variável como parâmetro. Vou escolher o parâmetro
. A partir de
obtemos
Como
é constante, em função de
temos:
Aqui
. Essa é uma parametrização: cada valor de
dá um ponto da curva.
Passo 3
Escrever em forma vetorial e interpretar os termos: a forma vetorial correspondente é
Podemos rearranjar essa expressão como uma soma de um ponto particular e um múltiplo de um vetor direção:
Aqui
é um ponto da reta (obtido com
) e
é um vetor diretor: deslocar
unidades nessa direção percorre a reta. O parâmetro
mede quanto se anda na direção
.
Passo 4
Verificação rápida: substituindo na equação da curva,
e
— portanto a parametrização satisfaz as equações originais para todo
, como desejado.