Parametrize a curva dada por sua equação cartesiana.
x+z=3 ; \quad y=2

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema de equações que define a curva:
x+z=3,\qquad y=2.
O que se pede: encontrar uma parametrização da curva (ou seja, uma expressão que dê as coordenadas (x,y,z) da curva em função de um parâmetro).
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva é o conjunto de pontos (x,y,z) em que vale \;x+z=3\; e \;y=2\;.
  • Devemos fornecer uma função vetorial \mathbf{r}(t) ou equações paramétricas (x(t),y(t),z(t)) com domínio (normalmente) \;t\in\mathbb{R}\;.

Passo 2

Ideia simples (uma variável livre): como há duas equações para três incógnitas, sobra uma liberdade — podemos escolher uma variável como parâmetro. Vou escolher o parâmetro \;t\;=\;x\;. A partir de \;x+z=3\; obtemos
z=3-x.
Como \;y=2\; é constante, em função de \;t temos:
x(t)=t,\qquad y(t)=2,\qquad z(t)=3-t.
Aqui \;t\in\mathbb{R}\;. Essa é uma parametrização: cada valor de \;t\; dá um ponto da curva.

Passo 3

Escrever em forma vetorial e interpretar os termos: a forma vetorial correspondente é
\mathbf{r}(t)=(t,2,3-t).
Podemos rearranjar essa expressão como uma soma de um ponto particular e um múltiplo de um vetor direção:
\mathbf{r}(t)=(0,2,3)+t(1,0,-1).
Aqui (0,2,3) é um ponto da reta (obtido com t=0) e (1,0,-1) é um vetor diretor: deslocar t unidades nessa direção percorre a reta. O parâmetro t mede quanto se anda na direção (1,0,-1).

Passo 4

Verificação rápida: substituindo na equação da curva,
x+z = t+(3-t)=3,
e y=2 — portanto a parametrização satisfaz as equações originais para todo \;t\in\mathbb{R}\;, como desejado.

Resposta

\mathbf{r}(t)=(t,2,3-t),\\ t\in\mathbb{R}
\mathbf{r}(t)=(0,2,3)+t(1,0,-1),\\ t\in\mathbb{R}

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