Determinar o resto da divisão de 10^135 por 7 .

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de 10^135 por 7. Vamos usar aritmética modular e o Teorema de Euler para simplificar esse cálculo.

Passo 2

Reduzimos a base módulo 7:
10 equiv 3 pmod7,
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10^135 equiv 3^135 pmod7

Passo 3

Pelo Teorema de Euler, como varphi(7)=6 e gcd(3,7)=1, temos
3^6 equiv 1 pmod7
Isso permite reduzir o expoente módulo 6:
135 bmod 6 = 3

Passo 4

Portanto
3^135 equiv 3^3 = 27 pmod7
E como
27 div 7 = 3;(quociente)e resto;6,
concluímos que
3^135 equiv 6 pmod7

Resposta

O resto da divisão de 10^135 por 7 é 6.

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