Seja
um inteiro positivo e
. Chamamos ordem de
módulo
ao menor inteiro positivo
para o qual
Por exemplo, a ordem de 2 módulo 31 é igual a 5 pois
, sendo 5 o menor inteiro positivo que satisfaz essa propriedade. Determine:
a ordem de 7 módulo 43.
a ordem de 7 módulo 43.
Passo 1
O enunciado pede a ordem de
módulo
, ou seja, o menor inteiro positivo
tal que
O conteúdo envolvido é o de ordem multiplicativa em
e o fato de que, se
é primo, a ordem de qualquer elemento divide
.
Passo 2
Como
é primo,
. Logo, a ordem de
módulo
deve ser um divisor de
. Os divisores positivos de
são
Basta testar, na ordem crescente, qual é o menor
que satisfaz
.
Passo 3
Calculemos potências sucessivas de
em
:
Nenhum de
funciona.
Passo 4
Como
, segue que
Logo
é o menor divisor de
que satisfaz a congruência, pois já excluímos
.
Resposta
A ordem de
módulo
é
.