Seja n um inteiro positivo e 1 <= b <= n-1. Chamamos ordem de b módulo n ao menor inteiro positivo k para o qual
b^k equiv 1(bmod n)
Por exemplo, a ordem de 2 módulo 31 é igual a 5 pois 2^5 equiv 1(bmod 31), sendo 5 o menor inteiro positivo que satisfaz essa propriedade. Determine:
a ordem de 7 módulo 43.

Passo 1

O enunciado pede a ordem de 7 módulo 43, ou seja, o menor inteiro positivo k tal que
7^kequiv1pmod43
O conteúdo envolvido é o de ordem multiplicativa em Zn^* e o fato de que, se n é primo, a ordem de qualquer elemento divide varphi(n)=n-1.

Passo 2

Como 43 é primo, varphi(43)=42. Logo, a ordem de 7 módulo 43 deve ser um divisor de 42. Os divisores positivos de 42 são
1,2,3,6,7,14,21,42
Basta testar, na ordem crescente, qual é o menor k que satisfaz 7^kequiv1pmod43.

Passo 3

Calculemos potências sucessivas de 7 em bmod 43:
7^1equiv7pmod43, 7^2equiv49equiv6pmod43,
7^3equiv7^2cdot7equiv6cdot7=42equiv-1pmod43
Nenhum de 1,2,3 funciona.

Passo 4

Como 7^3equiv-1pmod43, segue que
7^6equivl(7^3r)^2equiv(-1)^2equiv1pmod43
Logo k=6 é o menor divisor de 42 que satisfaz a congruência, pois já excluímos 1,2,3.

Resposta

A ordem de 7 módulo 43 é 6.

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