Seja
um inteiro positivo e
. Chamamos ordem de
módulo
ao menor inteiro positivo
para o qual
Por exemplo, a ordem de 2 módulo 31 é igual a 5 pois
, sendo 5 o menor inteiro positivo que satisfaz essa propriedade. Determine:
a ordem de 5 módulo 31;
a ordem de 5 módulo 31;
Passo 1
O enunciado pede a ordem de
módulo
, ou seja, o menor inteiro positivo
tal que
Isso envolve teoria de grupos multiplicativos em
e o fato de
ser primo.
Passo 2
Como
é primo, pelo Teorema de Fermat temos
logo a ordem de
deve dividir
. Os divisores positivos de
são
Passo 3
Testamos em ordem crescente até achar
:
Passo 4
Como
e não houve expoente menor que isso que gerasse
, concluímos que a ordem de
módulo
é
.
Resposta
3