Sejam
e
funções reais tais que:
- Calcule:
Passo 1
Beleza, a gente tem duas funções, $ f $ e $ g $, e precisa calcular a derivada da composição delas, ou seja, $ \left(g \circ f\right)^{\prime}(5) $. Isso tá dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente na parte de derivadas e na regra da cadeia, que é o que vamos usar pra resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra da cadeia. Se a gente tem uma composição de funções $ g(f(x)) $, a derivada dessa composição é:
Isso significa que a gente precisa multiplicar a derivada de $ g $ avaliada em $ f(x) $ pela derivada de $ f $ em $ x $.
Passo 3
Agora, vamos substituir o valor de $ x = 5 $ na fórmula da regra da cadeia. Então fica:
Passo 4
Pelo enunciado, sabemos que $ f(5) = 4 $ e $ f^{\prime}(5) = -1 $. Vamos substituir esses valores:
Passo 5
Também sabemos que $ g^{\prime}(4) = 3 $. Então, substituindo mais uma vez:
Resposta
O valor de $ \left(g \circ f\right)^{\prime}(5) $ é -3.