Determinar se são primos os seguintes inteiros:
197

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o inteiro \,197\, é primo.
Informação fornecida: o número a testar é \,197\,.
Pergunta explícita: " \,197\, é primo ou composto?"

Passo 2

O que significa ser primo e qual método vamos usar.
  • Definição: um inteiro maior que \,1\, é primo se seus únicos divisores positivos são \,1\, e ele mesmo.
  • Método prático (trial division): testar se algum número inteiro maior que \,1\, e menor que \,197\, divide \,197\,. Não é necessário testar todos: basta testar os números primos até \sqrt{197}.
    Por que só até \sqrt{197}? Se \,197=a\cdot b\, com a,b\ge2, então um dos fatores satisfaz a\le\sqrt{197} (senão a>b>\sqrt{197} implicaria a\cdot b>\sqrt{197}\cdot\sqrt{197}=197, contradição). Portanto, se nenhum primo até \sqrt{197} divide 197, então 197 não tem fatores não-triviais e é primo.

Passo 3

Calcular o limite de teste:
\sqrt{197}\approx 14{,}035\ldots
Logo é suficiente testar divisibilidade por todos os números primos menores ou iguais a \,14\,, ou seja, pelos primos
2,\\\ 3,\\\ 5,\\\ 7,\\\ 11,\\\ 13.

Passo 4

Teste com \,2.
Um número é divisível por \,2 se for par (último dígito 0,2,4,6,8). O último dígito de \,197\, é 7, logo \,197 é ímpar e não é divisível por \,2.

Passo 5

Teste com \,3.
Regra rápida: um número é divisível por \,3 se a soma dos dígitos for múltipla de \,3. Soma dos dígitos de \,197 é 1+9+7=17; como 17 não é múltiplo de \,3, concluímos que \,197 não é divisível por \,3. Para confirmar com multiplicação: 3\cdot65=195 e 197-195=2, resto 2\neq0.

Passo 6

Teste com \,5.
Um número é divisível por \,5 se terminar em 0 ou 5. \,197 termina em 7, então não é divisível por \,5.

Passo 7

Teste com \,7.
Podemos fazer multiplicação direta: 7\cdot28=196. Então 197-196=1, resto 1\neq0. Logo \,197 não é divisível por \,7.

Passo 8

Teste com \,11.
Alternativa rápida: prova por multiplicação inteira: 11\cdot17=187 e 11\cdot18=198>197. Portanto o quociente inteiro é 17 com resto 197-187=10\neq0. Também o teste de soma alternada dos dígitos dá 1-9+7=-1, que não é múltiplo de \,11. Conclusão: \,197 não é divisível por \,11.

Passo 9

Teste com \,13.
Multiplicação direta: 13\cdot15=195. Então 197-195=2, resto 2\neq0. Logo \,197 não é divisível por \,13.

Passo 10

Nenhum dos primos \,2,3,5,7,11,13\, divide \,197. Pelo argumento do Passo 2 (basta testar até \sqrt{197}), concluímos que \,197 não tem divisores não-triviais; portanto é primo. Parabéns — número bonito e primo!

Resposta

197 é primo.

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