Determinar se são primos os seguintes inteiros:
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Passo 1
O enunciado pede para determinar se o inteiro
é primo.
Informação fornecida: o número a testar é .
Pergunta explícita: " é primo ou composto?"
Informação fornecida: o número a testar é
Pergunta explícita: "
Passo 2
O que significa ser primo e qual método vamos usar.
- Definição: um inteiro maior que
é primo se seus únicos divisores positivos são e ele mesmo. - Método prático (trial division): testar se algum número inteiro maior que
e menor que divide . Não é necessário testar todos: basta testar os números primos até .
Por que só até? Se com , então um dos fatores satisfaz (senão implicaria , contradição). Portanto, se nenhum primo até divide , então não tem fatores não-triviais e é primo.
Passo 3
Calcular o limite de teste:
Logo é suficiente testar divisibilidade por todos os números primos menores ou iguais a
, ou seja, pelos primos
Passo 4
Teste com
.
Um número é divisível por se for par (último dígito
). O último dígito de
é
, logo
é ímpar e não é divisível por
.
Um número é divisível por
Passo 5
Teste com
.
Regra rápida: um número é divisível por se a soma dos dígitos for múltipla de
. Soma dos dígitos de
é
; como
não é múltiplo de
, concluímos que
não é divisível por
. Para confirmar com multiplicação:
e
, resto
.
Regra rápida: um número é divisível por
Passo 6
Teste com
.
Um número é divisível por se terminar em
ou
.
termina em
, então não é divisível por
.
Um número é divisível por
Passo 7
Teste com
.
Podemos fazer multiplicação direta: . Então
, resto
. Logo
não é divisível por
.
Podemos fazer multiplicação direta:
Passo 8
Teste com
.
Alternativa rápida: prova por multiplicação inteira: e
. Portanto o quociente inteiro é
com resto
. Também o teste de soma alternada dos dígitos dá
, que não é múltiplo de
. Conclusão:
não é divisível por
.
Alternativa rápida: prova por multiplicação inteira:
Passo 9
Teste com
.
Multiplicação direta: . Então
, resto
. Logo
não é divisível por
.
Multiplicação direta:
Passo 10
Nenhum dos primos
divide
. Pelo argumento do Passo 2 (basta testar até
), concluímos que
não tem divisores não-triviais; portanto é primo. Parabéns — número bonito e primo!